Computus

Calendario gregorianoEditar

Como la reforma del computus fue la principal motivación para la introducción del calendario gregoriano en 1582, se introdujo una metodología de computus correspondiente junto con el calendario. El método general de trabajo fue dado por Clavius en los Seis Cánones (1582), y una explicación completa siguió en su Explicatio (1603).

El domingo de Pascua es el domingo siguiente a la fecha de luna llena pascual. La fecha de luna llena pascual es la fecha de luna llena eclesiástica del 21 de marzo o posterior. El método gregoriano obtiene las fechas de luna llena pascual determinando el epact de cada año. El epact puede tener un valor desde * (0 o 30) hasta 29 días. Teóricamente, un mes lunar (epact 0) comienza con la luna nueva, y la luna creciente es visible por primera vez el primer día del mes (epact 1). El día 14 del mes lunar se considera el día de la luna llena.

Históricamente la fecha de la luna llena pascual de un año se encontraba a partir de su número de secuencia en el ciclo metónico, llamado número áureo, cuyo ciclo repite la fase lunar 1 de enero cada 19 años. Este método se abandonó en la reforma gregoriana porque las fechas tabulares se desincronizan con la realidad después de unos dos siglos, pero a partir del método de epact, se puede construir una tabla simplificada que tiene una validez de uno a tres siglos.

Los epactos del actual ciclo metónico, que comenzó en 2014, son:

.

La tabla anterior es válida desde 1900 hasta 2199 inclusive. Como ejemplo de uso, el número áureo de 2038 es el 6 (2038 ÷ 19 = 107 resto 5, entonces +1 = 6). De la tabla, la luna llena pascual para el número áureo 6 es el 18 de abril. En la tabla de la semana, el 18 de abril es domingo. El domingo de Pascua es el domingo siguiente, el 25 de abril.

Los epactos se utilizan para encontrar las fechas de la luna nueva de la siguiente manera: Escribe una tabla con los 365 días del año (se ignora el día bisiesto). A continuación, etiquete todas las fechas con un número romano contando hacia abajo, desde «*» (0 o 30), «xxix» (29), hasta «i» (1), empezando por el 1 de enero, y repita esto hasta el final del año. Sin embargo, en cada segundo periodo de este tipo cuenta sólo 29 días y etiqueta la fecha con xxv (25) también con xxiv (24). Por lo tanto, trate el decimotercer periodo (los últimos once días) como largo, y asigne las etiquetas «xxv» y «xxiv» a las fechas secuenciales (26 y 27 de diciembre, respectivamente). Por último, añada además la etiqueta «25» a las fechas que tienen «xxv» en los periodos de 30 días; pero en los periodos de 29 días (que tienen «xxiv» junto con «xxv») añada la etiqueta «25» a la fecha con «xxvi». La distribución de las longitudes de los meses y de los ciclos de epactas es tal que cada mes del calendario civil comienza y termina con la misma etiqueta de epactas, excepto en febrero y en las etiquetas de epactas «xxv» y «25» en julio y agosto. Esta tabla se denomina calendarium. Las lunas nuevas eclesiásticas de cualquier año son aquellas fechas en las que se introduce el epact del año. Si el epact para el año es, por ejemplo, 27, entonces hay una luna nueva eclesiástica en cada fecha de ese año que tiene la etiqueta epact «xxvii» (27).

También hay que etiquetar todas las fechas de la tabla con las letras «A» a «G», empezando por el 1 de enero, y repetir hasta el final del año. Si, por ejemplo, el primer domingo del año es el 5 de enero, que tiene la letra «E», entonces cada fecha con la letra «E» es un domingo ese año. Entonces la «E» se llama la letra dominical de ese año (del latín: dies domini, día del Señor). La letra dominical retrocede una posición cada año. Sin embargo, en los años bisiestos, después del 24 de febrero, los domingos caen en la letra anterior del ciclo, por lo que los años bisiestos tienen dos letras dominicales: la primera para antes, la segunda para después del día bisiesto.

En la práctica, a efectos del cálculo de la Pascua, no es necesario hacer esto para los 365 días del año. Para los epactos, marzo sale exactamente igual que enero, por lo que no hay que calcular enero o febrero. Para evitar también la necesidad de calcular las letras dominicales de enero y febrero, se empieza por la D del 1 de marzo. Sólo se necesitan las epactas del 8 de marzo al 5 de abril. Esto da lugar a la siguiente tabla:

Una tabla de Suecia para calcular la fecha de la Semana Santa 1140-1671 según el calendario juliano. Nótese la escritura rúnica.

Diagrama cronológico de la fecha de Pascua durante 600 años, desde la reforma del calendario gregoriano hasta el año 2200 (por Camille Flammarion, 1907)

Ejemplo: Si el epactus es 27 (xxvii), una luna nueva eclesiástica cae en cada fecha etiquetada como xxvii. La luna llena eclesiástica cae 13 días después. De la tabla anterior, esto da una luna nueva el 4 de marzo y el 3 de abril, y así una luna llena el 17 de marzo y el 16 de abril.

Entonces el día de Pascua es el primer domingo después de la primera luna llena eclesiástica en o después del 21 de marzo. Esta definición utiliza «el 21 de marzo o después» para evitar la ambigüedad con el significado histórico de la palabra «después». En el lenguaje moderno, esta frase significa simplemente «después del 20 de marzo». La definición de «el 21 de marzo o después» se abrevia con frecuencia de forma incorrecta a «después del 21 de marzo» en artículos publicados y en la web, lo que da lugar a fechas de Pascua incorrectas.

En el ejemplo, esta luna llena pascual es el 16 de abril. Si la letra dominical es la E, entonces el día de Pascua es el 20 de abril.

La etiqueta «25» (a diferencia de «xxv») se utiliza como sigue: Dentro de un ciclo metónico, los años que están separados por 11 años tienen epactos que difieren en un día. Un mes que comienza en una fecha que tiene las etiquetas xxiv y xxv impactadas juntas tiene 29 o 30 días. Si los epactos 24 y 25 ocurren ambos dentro de un ciclo metónico, entonces las lunas nuevas (y llenas) caerían en las mismas fechas para estos dos años. Esto es posible para la luna real pero es poco elegante en un calendario lunar esquemático; las fechas deberían repetirse sólo después de 19 años. Para evitar esto, en los años que tienen epactos 25 y con un número áureo mayor que 11, la luna nueva calculada cae en la fecha con la etiqueta 25 en lugar de xxv. Cuando las etiquetas 25 y xxv están juntas, no hay problema ya que son la misma. Esto no traslada el problema a la pareja «25» y «xxvi», porque el epact 26 más temprano que podría aparecer sería en el año 23 del ciclo, que dura sólo 19 años: hay un saltus lunae en medio que hace que las lunas nuevas caigan en fechas separadas.

El calendario gregoriano tiene una corrección del año tropical al dejar de lado tres días bisiestos en 400 años (siempre en un año centenario). Esto es una corrección a la duración del año tropical, pero no debería tener ningún efecto en la relación metónica entre años y lunaciones. Por lo tanto, se compensa (parcialmente – ver epact) restando uno en estos años de siglo. Esta es la llamada corrección solar o «ecuación solar» («ecuación» se utiliza en su sentido medieval de «corrección»).

Sin embargo, 19 años julianos no corregidos son un poco más largos que 235 lunaciones. La diferencia se acumula a un día en unos 310 años. Por eso, en el calendario gregoriano, el epactus se corrige sumando 1 ocho veces en 2.500 años (gregorianos), siempre en un año centenario: es la llamada corrección lunar (históricamente llamada «ecuación lunar»). La primera se aplicó en 1800, la siguiente es en 2100, y se aplicará cada 300 años, salvo un intervalo de 400 años entre 3900 y 4300, que inicia un nuevo ciclo.

Las correcciones solar y lunar actúan en sentidos opuestos, y en algunos años de siglo (por ejemplo, 1800 y 2100) se anulan mutuamente. El resultado es que el calendario lunar gregoriano utiliza una tabla de epactas que es válida para un período de 100 a 300 años. La tabla de epactas indicada anteriormente es válida para el periodo de 1900 a 2199.

DetallesEditar

Este método de cómputo tiene varias sutilezas:

Todos los demás meses lunares tienen sólo 29 días, por lo que un día debe tener dos (de los 30) etiquetas epactas asignadas. La razón para desplazar la etiqueta epactal «xxv/25» en lugar de cualquier otra parece ser la siguiente: Según Dionisio (en su carta introductoria a Petronio), el concilio de Nicea, con la autoridad de Eusebio, estableció que el primer mes del año lunar eclesiástico (el mes pascual) debía comenzar entre el 8 de marzo y el 5 de abril, ambos inclusive, y el día 14 debía caer entre el 21 de marzo y el 18 de abril, ambos inclusive, abarcando así un período de (sólo) 29 días. Una luna nueva del 7 de marzo, que tiene la etiqueta epact «xxiv», tiene su 14º día (luna llena) el 20 de marzo, que es demasiado temprano (no sigue al 20 de marzo). Así, los años con epact de «xxiv», si el mes lunar que comienza el 7 de marzo tuviera 30 días, tendrían su luna nueva pascual el 6 de abril, que es demasiado tarde: La luna llena caería el 19 de abril, y la Pascua podría ser tan tarde como el 26 de abril. En el calendario juliano, la fecha más tardía de la Pascua era el 25 de abril, y la reforma gregoriana mantuvo ese límite. Así pues, la luna llena pascual debe caer a más tardar el 18 de abril y la luna nueva el 5 de abril, lo que tiene la etiqueta epactante «xxv». El 5 de abril debe tener, por tanto, su doble etiqueta epact «xxiv» y «xxv». Entonces el epact «xxv» debe ser tratado de forma diferente, como se explica en el párrafo anterior.

Como consecuencia, el 19 de abril es la fecha en la que la Pascua cae con más frecuencia en el calendario gregoriano: En aproximadamente el 3,87% de los años. El 22 de marzo es la menos frecuente, con un 0,48%.

Distribución de la fecha de Pascua para el ciclo completo de 5.700.000 años

La relación entre las fechas del calendario lunar y el solar se hace independiente del esquema de días bisiestos para el año solar. Básicamente el calendario gregoriano sigue utilizando el calendario juliano con un día bisiesto cada cuatro años, por lo que un ciclo metónico de 19 años tiene 6.940 o 6.939 días con cinco o cuatro días bisiestos. Ahora el ciclo lunar cuenta sólo con 19 × 354 + 19 × 11 = 6.935 días. Al no etiquetar y contar el día bisiesto con un número epactal, sino hacer que la siguiente luna nueva caiga en la misma fecha del calendario que sin el día bisiesto, la lunación actual se alarga un día, y las 235 lunaciones cubren tantos días como los 19 años. Así, la carga de sincronizar el calendario con la luna (precisión a medio plazo) se traslada al calendario solar, que puede utilizar cualquier esquema de intercalación adecuado; todo ello bajo el supuesto de que 19 años solares = 235 lunaciones (precisión a largo plazo). Una consecuencia es que la edad calculada de la luna puede estar desfasada en un día, y también que las lunaciones que contienen el día bisiesto pueden tener 31 días, lo que nunca ocurriría si se siguiera la luna real (inexactitudes a corto plazo). Este es el precio de un ajuste regular al calendario solar.

Desde el punto de vista de quienes podrían desear utilizar el ciclo gregoriano de Pascua como calendario para todo el año, hay algunos defectos en el calendario lunar gregoriano (aunque no tienen efecto sobre el mes pascual y la fecha de Pascua):

1. Se producen lunaciones de 31 (y a veces de 28) días.
2. Si un año con el número áureo 19 resulta tener el epactus 19, entonces la última luna nueva eclesiástica cae el 2 de diciembre; la siguiente tendría lugar el 1 de enero. Sin embargo, al comienzo del nuevo año, un saltus lunae aumenta el epact en otra unidad, y la luna nueva debería haber ocurrido el día anterior. Por lo tanto, se pierde la luna nueva. El calendarium del Missale Romanum tiene en cuenta este hecho asignando la etiqueta de epact «19» en lugar de «xx» al 31 de diciembre de dicho año, haciendo que esa fecha sea la luna nueva. Esto ocurría cada 19 años cuando estaba en vigor la tabla de epactas gregoriana original (por última vez en 1690), y la próxima vez ocurre en 8511.
3. Si la epactas de un año es 20, una luna nueva eclesiástica cae el 31 de diciembre. Si ese año cae antes de un año centenario, en la mayoría de los casos, una corrección solar reduce en uno el epact del año nuevo: El epact resultante «*» significa que otra luna nueva eclesiástica se cuenta el 1 de enero. Así que, formalmente, ha pasado una lunación de un día. Esto ocurre a continuación en 4199-4200.
4. Otros casos límite ocurren (mucho) más tarde, y si se siguen estrictamente las reglas y estos casos no son tratados especialmente, generan sucesivas fechas de luna nueva que están separadas por 1, 28, 59 o (muy raramente) 58 días.

Un análisis cuidadoso muestra que por la forma en que se utilizan y corrigen en el calendario gregoriano, los epactos son en realidad fracciones de una lunación (1/30, también conocido como tithi) y no días completos. Ver epact para una discusión.

Las correcciones solares y lunares se repiten después de 4 × 25 = 100 siglos. En ese período, el epact ha cambiado en un total de -1 × 3/4 × 100 + 1 × 8/25 × 100 = -43 ≡ 17 mod 30. Esto es primo de los 30 epactos posibles, por lo que se necesitan 100 × 30 = 3.000 siglos antes de que los epactos se repitan; y 3.000 × 19 = 57.000 siglos antes de que los epactos se repitan en el mismo número áureo. Este período tiene 5.700.000/19 × 235 – 43/30 × 57.000/100 = 70.499.183 lunaciones. Así que las fechas de la Pascua gregoriana se repiten exactamente en el mismo orden sólo después de 5.700.000 años, 70.499.183 lunaciones, o 2.081.882.250 días; la duración media de las lunaciones es entonces de 29,53058690 días. Sin embargo, el calendario ya debe haber sido ajustado después de algunos milenios debido a los cambios en la duración del año tropical, el mes sinódico y el día.

Gráficos de las fechas del Domingo de Resurrección occidental (católico) y oriental (ortodoxo) comparadas con el equinoccio de marzo y las lunas llenas de 1950 a 2050 en el calendario gregoriano

Esto plantea la cuestión de por qué el calendario lunar gregoriano tiene correcciones solares y lunares separadas, que a veces se anulan entre sí. El trabajo original de Lilius no se ha conservado, pero su propuesta fue descrita en el Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium que circuló en 1577, en el que se explica que el sistema de corrección que ideó debía ser una herramienta perfectamente flexible en manos de los futuros reformadores del calendario, ya que en adelante el calendario solar y el lunar podrían corregirse sin interferencias mutuas. Un ejemplo de esta flexibilidad fue la secuencia de intercalación alternativa derivada de las teorías de Copérnico, junto con sus correspondientes correcciones epactales.

Las «correcciones solares» deshacen aproximadamente el efecto de las modificaciones gregorianas de los días bisiestos del calendario solar sobre el calendario lunar: devuelven (parcialmente) el ciclo epactal a la relación metónica original entre el año juliano y el mes lunar. El desajuste inherente entre el sol y la luna en este ciclo básico de 19 años se corrige entonces cada tres o cuatro siglos mediante la «corrección lunar» de los epactos. Sin embargo, las correcciones de los epactas se producen al principio de los siglos gregorianos, no de los julianos, y por lo tanto el ciclo metónico juliano original no se restablece por completo.

Aunque las sustracciones netas de 4 × 8 – 3 × 25 = 43 epactas podrían distribuirse uniformemente a lo largo de 10.000 años (como ha propuesto, por ejemplo, el Dr. Heiner Lichtenberg).

Si las correcciones se combinan, entonces las inexactitudes de los dos ciclos también se suman y no pueden corregirse por separado.

Las relaciones de días (solares medios) por año y días por lunación cambian tanto por las variaciones intrínsecas a largo plazo de las órbitas, como porque la rotación de la Tierra se ralentiza debido a la desaceleración de las mareas, por lo que los parámetros gregorianos se vuelven cada vez más obsoletos.

Esto sí afecta a la fecha del equinoccio, pero ocurre que el intervalo entre los equinoccios hacia el norte (primavera del hemisferio norte) ha sido bastante estable a lo largo de los tiempos históricos, sobre todo si se mide en tiempo solar medio (véase, esp.)

También la deriva en las lunas llenas eclesiásticas calculadas por el método gregoriano en comparación con las verdaderas lunas llenas se ve afectada menos de lo que cabría esperar, porque el aumento de la duración del día se compensa casi exactamente con el aumento de la duración del mes, ya que el frenado de las mareas transfiere el momento angular de la rotación de la Tierra al momento angular orbital de la Luna.

El valor ptolemaico de la duración del mes sinódico medio, establecido hacia el siglo IV a.C. por los babilonios, es de 29 días 12 h 44 min 3+1/3 s (véase Kidinnu); el valor actual es 0,46 s menos (véase Luna nueva). En el mismo tramo de tiempo histórico, la duración del año tropical medio ha disminuido en unos 10 s (todos los valores se refieren al tiempo solar).

Ley del Calendario Británico y Libro de Oración ComúnEditar

La parte de la sección de métodos tabulares anterior describe los argumentos y métodos históricos por los que se decidieron las fechas actuales del Domingo de Resurrección a finales del siglo XVI por la Iglesia Católica. En Gran Bretaña, donde todavía se utilizaba el calendario juliano, el Domingo de Pascua se definió, desde 1662 hasta 1752 (de acuerdo con la práctica anterior), mediante una simple tabla de fechas en el Libro de Oración Anglicano (decretado por el Acta de Uniformidad de 1662). La tabla estaba indexada directamente por el número áureo y la letra dominical, que (en la sección de Pascua del libro) se suponía ya conocida.

Para el Imperio Británico y las colonias, la nueva determinación de la fecha del Domingo de Pascua fue definida por lo que ahora se llama la Ley del Calendario (Nuevo Estilo) de 1750 con su Anexo. El método fue elegido para dar fechas que concordaran con la regla gregoriana ya en uso en otros lugares. El Acta exigía que se incluyera en el Libro de Oración Común, y por lo tanto es la regla general anglicana. El Acta original puede verse en el British Statutes at Large de 1765. El anexo de la ley incluye la definición: «El día de Pascua (del que depende el resto) es siempre el primer domingo después de la Luna Llena, que ocurre en el vigésimo primer día de marzo o el siguiente. Y si la Luna Llena coincide con un domingo, el día de Pascua es el domingo siguiente». El anexo utiliza posteriormente los términos «Luna Llena Pascual» y «Luna Llena Eclesiástica», dejando claro que se aproximan al verdadero plenilunio.

El método es muy distinto al descrito anteriormente en el calendario gregoriano. Para un año general, se determina primero el número áureo, luego se utilizan tres tablas para determinar la letra dominical, una «cifra» y la fecha del plenilunio pascual, de la que se desprende la fecha del domingo de Pascua. El epactus no aparece explícitamente. Se pueden utilizar tablas más sencillas para periodos limitados (como 1900-2199) durante los cuales la cifra (que representa el efecto de las correcciones solar y lunar) no cambia. Los detalles de Clavius se emplearon en la construcción del método, pero no desempeñan ningún papel posterior en su uso.

J. R. Stockton muestra su derivación de un eficiente algoritmo informático rastreable hasta las tablas del Libro de Oración y el Acta de Calendario (suponiendo que se tenga a mano una descripción de cómo usar las Tablas), y verifica sus procesos computando Tablas coincidentes.

Calendario julianoEditar

Distribución de la fecha de la Pascua en la mayoría de las iglesias orientales 1900-2099 frente a la distribución de la Pascua occidental

El método para calcular la fecha del plenilunio eclesiástico que era estándar para la Iglesia occidental antes de la reforma del calendario gregoriano, y que sigue siendo utilizado hoy en día por la mayoría de los cristianos orientales, hacía uso de una repetición no corregida del ciclo metónico de 19 años en combinación con el calendario juliano. En cuanto al método de los epactas comentado anteriormente, utilizaba efectivamente una única tabla de epactas que comenzaba con un epactas de 0, que nunca se corregía. En este caso, el epact se contaba el 22 de marzo, la fecha más temprana aceptable para la Pascua. Esto se repite cada 19 años, por lo que sólo hay 19 fechas posibles para la luna llena pascual, desde el 21 de marzo hasta el 18 de abril, ambos inclusive.

Debido a que no hay correcciones como en el calendario gregoriano, la luna llena eclesiástica se aleja de la verdadera luna llena en más de tres días cada milenio. Ya se retrasa unos días. Como resultado, las iglesias orientales celebran la Pascua una semana más tarde que las iglesias occidentales aproximadamente el 50% de las veces. (La Pascua oriental es ocasionalmente cuatro o cinco semanas más tarde porque el calendario juliano está 13 días por detrás del gregoriano en 1900-2099, y así la luna llena pascual gregoriana es a veces antes del 21 de marzo juliano.)

El número de secuencia de un año en el ciclo de 19 años se llama su número áureo. Este término se utilizó por primera vez en el poema computista Massa Compoti de Alejandro de Villa Dei en 1200. Un escriba posterior añadió el número áureo a las tablas compuestas originalmente por Abbo de Fleury en 988.

La afirmación de la Iglesia Católica en la bula papal Inter gravissimas de 1582, que promulgó el calendario gregoriano, de que restablecía «la celebración de la Pascua según las reglas fijadas por … el gran concilio ecuménico de Nicea» se basaba en una falsa afirmación de Dionisio Exiguo (525) de que «determinamos la fecha del día de Pascua … de acuerdo con la propuesta acordada por los 318 Padres de la Iglesia en el Concilio de Nicea». Sin embargo, el Primer Concilio de Nicea (325) no proporcionó ninguna norma explícita para determinar esa fecha, sino que se limitó a escribir que «todos nuestros hermanos de Oriente, que antes seguían la costumbre de los judíos, celebren en lo sucesivo dicha fiesta sacratísima de la Pascua al mismo tiempo que los romanos y vosotros y todos los que han observado la Pascua desde el principio.» El computo medieval se basaba en el computo alejandrino, desarrollado por la Iglesia de Alejandría durante la primera década del siglo IV utilizando el calendario alejandrino:36 El Imperio Romano de Oriente lo aceptó poco después del año 380 tras convertir el computo al calendario juliano:48 Roma lo aceptó en algún momento entre los siglos VI y IX. Las Islas Británicas lo aceptaron durante el siglo VIII, salvo en algunos monasterios. Francia (toda Europa occidental excepto Escandinavia (pagana), las Islas Británicas, la Península Ibérica y el sur de Italia) lo aceptó durante el último cuarto del siglo VIII. El último monasterio celta en aceptarla, Iona, lo hizo en el 716, mientras que el último monasterio inglés en aceptarla lo hizo en el 931. Antes de estas fechas, otros métodos producían fechas del Domingo de Resurrección que podían diferir hasta en cinco semanas.

Esta es la tabla de fechas de luna llena pascual para todos los años julianos desde 931:

Ejemplo de cálculo con esta tabla:

El número áureo de 1573 es el 16 (1573 + 1 = 1574; 1574 ÷ 19 = 82 resto 16). De la tabla, la luna llena pascual para el número áureo 16 es el 21 de marzo. En la tabla de la semana, el 21 de marzo es el sábado. El domingo de Pascua es el domingo siguiente, el 22 de marzo.

Así que para una fecha dada de la luna llena eclesiástica, hay siete posibles fechas de Pascua. El ciclo de las letras dominicales, sin embargo, no se repite en siete años: debido a las interrupciones del día bisiesto cada cuatro años, el ciclo completo en el que los días de la semana se repiten en el calendario de la misma manera, es de 4 × 7 = 28 años, el llamado ciclo solar. Por lo tanto, las fechas de Pascua se repiten en el mismo orden después de 4 × 7 × 19 = 532 años. Este ciclo pascual se llama también ciclo victoriano, en honor a Victorio de Aquitania, que lo introdujo en Roma en el año 457. Se sabe que fue utilizado por primera vez por Aniano de Alejandría a principios del siglo V. A veces también se le ha llamado erróneamente ciclo dionisíaco, en honor a Dionisio Exiguo, que preparó unas tablas de Pascua que empezaban en el año 532; pero al parecer no se dio cuenta de que el cómputo alejandrino que describió tenía un ciclo de 532 años, aunque sí se dio cuenta de que su tabla de 95 años no era un ciclo verdadero. El venerable Bede (siglo VII) parece haber sido el primero en identificar el ciclo solar y explicar el ciclo pascual a partir del ciclo metónico y del ciclo solar.

En la Europa occidental medieval, las fechas del plenilunio pascual (14 de nisán) indicadas anteriormente podían memorizarse con la ayuda de un poema aliterado de 19 versos en latín:

Nonae Aprilis	norunt quinos	V
octonae kalendae	assim depromunt.	I
Idus Aprilis	etiam sexis,	VI
nonae quaternae	namque dipondio.	II
Item undene	ambiunt quinos,	V
quatuor idus	capiunt ternos.	III
Ternas kalendas	titulant seni,	VI
quatuor dene	cubant in quadris.	II
Septenas idus	septem eligunt,	VII
senae kalendae	sortiunt ternos,	III
denis septenis	donant assim.	I
Pridie nonas	porro quaternis,	II
nonae kalendae	notantur septenis.	VII
Pridie idus	panditur quinis,	V
kalendas Aprilis	exprimunt unus.	I
Duodene namque	docte quaternis,	II
speciem quintam	speramus duobus.	II
Quaternae kalendae	quinque coniciunt,	V
quindene constant	tribus adeptis.	III

La primera media línea de cada línea da la fecha de la luna llena pascual de la tabla anterior para cada año del ciclo de 19 años. La segunda mitad de la línea da el ferial regular, o el desplazamiento del día de la luna llena pascual de ese año a partir del concurrente, o el día de la semana del 24 de marzo:xlvii El ferial regular se repite en números romanos en la tercera columna.

Fechas «paradójicas» de la PascuaEditar

Debido a las discrepancias entre las aproximaciones de los cálculos computacionales del tiempo del equinoccio vernal medio y de las fases lunares, y los verdaderos valores calculados según los principios astronómicos, surgen ocasionalmente diferencias entre la fecha de la Pascua según el cálculo computacional y la fecha hipotética de la Pascua calculada por métodos astronómicos utilizando los principios atribuidos a los padres de la Iglesia. Estas discrepancias se denominan fechas de Pascua «paradójicas». En su Kalendarium de 1474, Regiomontanus calculó la hora exacta de todas las conjunciones del Sol y la Luna para la longitud de Núremberg según las Tablas Alfonsinas para el periodo de 1475 a 1531. En su trabajo tabuló 30 casos en los que la Pascua del cómputo juliano no coincidía con la Pascua calculada mediante la Luna Nueva astronómica. En dieciocho casos la fecha difería en una semana, en siete casos en 35 días y en cinco casos en 28 días.

Ludwig Lange investigó y clasificó diferentes tipos de fechas paradójicas de Pascua utilizando el computo gregoriano. En los casos en los que la primera luna llena vernal según el cálculo astronómico ocurre en domingo y el Computus da el mismo domingo como Pascua, la Pascua celebrada ocurre con una semana de antelación respecto a la hipotética Pascua «astronómicamente» correcta. Lange llamó a este caso una paraodoxia semanal (hebdomadal) negativa (paradoja H). Si el cálculo astronómico da un sábado para la primera luna llena vernal y la Pascua no se celebra el domingo directamente siguiente, sino una semana después, la Pascua se celebra según el cómputo una semana demasiado tarde en comparación con el resultado astronómico. Clasificó estos casos como una paradoja semanal (hebdomadal) positiva (paradoja H+). Las discrepancias son aún mayores si existe una diferencia según el equinoccio de primavera con respecto a la teoría astronómica y la aproximación del Computus. Si la luna llena equinoccial astronómica cae antes que la luna llena equinoccial computacional, la Pascua se celebrará con cuatro o incluso cinco semanas de retraso. Estos casos se denominan paradoja equinoccial positiva (paradoja A+) según Lange. En el caso contrario, cuando la luna llena equinoccial computacional cae un mes antes que la luna llena equinoccial astronómica, la Pascua se celebra cuatro o cinco semanas antes de tiempo. Estos casos se denominan paradoja equinoccial negativa (paradoja A). Las paradojas equinocciales son siempre válidas globalmente para toda la Tierra, porque la secuencia de equinoccio y luna llena no depende de la longitud geográfica. En cambio, las paradojas semanales son locales en la mayoría de los casos y sólo son válidas para una parte de la Tierra, porque el cambio de día entre el sábado y el domingo depende de la longitud geográfica. Los cálculos computacionales se basan en tablas astronómicas válidas para la longitud de Venecia, que Lange denominó longitud gregoriana.

En los siglos XXI y XXII las fechas paradójicas semanales negativas se dan en 2049, 2076, 2106, 2119 (global), 2133, 2147, 2150, 2170 y 2174; las paradójicas semanales positivas se dan en 2045, 2069, 2089 y 2096; las paradójicas equinocciales positivas en 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 y 2190. En 2076 y 2133 se producen «paradojas dobles» (equinocciales positivas y semanales negativas). Las paradojas equinocciales negativas son extremadamente raras; sólo ocurren dos veces hasta el año 4000 en 2353, cuando la Pascua se adelanta cinco semanas y en 2372, cuando la Pascua se adelanta cuatro semanas.