Computus

Gregoriánský kalendářEdit

Jelikož reforma computu byla hlavní motivací pro zavedení gregoriánského kalendáře v roce 1582, byla spolu s kalendářem zavedena i odpovídající metodika computu. Obecnou metodu práce uvedl Clavius v Šesti kánonech (1582) a úplné vysvětlení následovalo v jeho Explicatio (1603).

Velikonoční neděle je neděle následující po paschálním datu úplňku. Paschální datum úplňku je církevní datum úplňku 21. března nebo později. Gregoriánská metoda odvozuje paschální data úplňku určením epaktu pro každý rok. Epact může mít hodnotu od * (0 nebo 30) do 29 dnů. Teoreticky začíná lunární měsíc (epakt 0) novoluním a srpek měsíce je poprvé viditelný první den měsíce (epakt 1). Za den úplňku se považuje 14. den lunárního měsíce.

Historicky se datum paschálního úplňku pro daný rok zjišťovalo z jeho pořadového čísla v metonickém cyklu, tzv. zlatého čísla, jehož cyklus opakuje lunární fázi 1. ledna každých 19 let. Tato metoda byla při gregoriánské reformě opuštěna, protože tabulková data se zhruba po dvou staletích rozcházejí se skutečností, ale z epaktové metody lze sestavit zjednodušenou tabulku, která má platnost jedno až tři staletí.

Epakty pro současný metonický cyklus, který začal v roce 2014, jsou následující:

>.

.

Výše uvedená tabulka platí od roku 1900 do roku 2199 včetně. Jako příklad použití lze uvést, že zlaté číslo pro rok 2038 je 6 (2038 ÷ 19 = 107 zbytek 5, pak +1 = 6). Z tabulky vyplývá, že pašijový úplněk pro zlaté číslo 6 je 18. dubna. Z tabulky týdne 18. dubna je neděle. Velikonoční neděle je následující neděle 25. dubna.

Epaktů se používá ke zjištění dat novoluní následujícím způsobem: Zapište tabulku všech 365 dnů v roce (přestupný den se zanedbává). Poté všechna data označte římskou číslicí počítanou směrem dolů, od „*“ (0 nebo 30), „xxix“ (29) až po „i“ (1), počínaje 1. lednem, a tento postup opakujte až do konce roku. V každém druhém takovém období však počítejte pouze 29 dní a označte datum číslicí xxv (25) také číslicí xxiv (24). Třinácté období (posledních jedenáct dní) proto považujte za dlouhé a postupným datům (26. a 27. prosince) přiřaďte označení „xxv“ a „xxiv“. Nakonec navíc přidejte označení „25“ k datům, která mají v 30denních obdobích označení „xxv“; v 29denních obdobích (která mají „xxiv“ společně s „xxv“) však přidejte označení „25“ k datu s „xxvi“. Rozložení délky měsíců a délky cyklů epaktů je takové, že každý občanský kalendářní měsíc začíná a končí stejnou epaktovou značkou, s výjimkou února a epaktových značek „xxv“ a „25“ v červenci a srpnu. Tato tabulka se nazývá kalendárium. Církevní novoluní pro každý rok jsou ta data, kdy je zadán epakt pro daný rok. Je-li epakt pro daný rok například 27, pak je církevní novoluní v každém datu daného roku, které má epaktovou značku „xxvii“ (27).

Všechna data v tabulce označte písmeny „A“ až „G“, počínaje 1. lednem, a opakujte to až do konce roku. Jestliže například první neděle v roce připadá na 5. ledna, který má písmeno „E“, pak každé datum s písmenem „E“ je v tomto roce nedělí. Pak se „E“ nazývá dominikální písmeno pro daný rok (z latiny: dies domini, den Páně). Dominantní písmeno se každý rok cyklicky posouvá o jednu pozici dozadu. V přestupných letech po 24. únoru však neděle připadají na předchozí písmeno cyklu, takže přestupné roky mají dvě dominová písmena: první pro dobu před přestupným dnem, druhé pro dobu po něm.

V praxi se to pro účely výpočtu Velikonoc nemusí dělat pro všech 365 dní v roce. Pro epakty vychází březen přesně stejně jako leden, takže není třeba počítat leden ani únor. Abyste se také vyhnuli nutnosti počítat dominikální písmena pro leden a únor, začněte s D pro 1. březen. Potřebujete pouze epakty od 8. března do 5. dubna. Vznikne tak následující tabulka:

Tabulka ze Švédska pro výpočet data Velikonoc 1140-1671 podle juliánského kalendáře. Všimněte si runového písma.

Chronologický diagram data Velikonoc za 600 let od reformy gregoriánského kalendáře do roku 2200 (autor Camille Flammarion, 1907)

.

.

.

.

.

Příklad: Pokud je epaktum 27 (xxvii), připadá církevní novoluní na každé datum označené jako xxvii. Církevní úplněk připadá o 13 dní později. Z výše uvedené tabulky vyplývá, že novoluní připadá na 4. března a 3. dubna, úplněk tedy na 17. března a 16. dubna.

Tedy Velikonoce jsou první nedělí po prvním církevním úplňku 21. března nebo později. V této definici je použito „dne 21. března nebo po něm“, aby se předešlo nejasnostem s historickým významem slova „po“. V moderním jazyce tato věta znamená jednoduše „po 20. březnu“. Definice „dne 21. března nebo po 21. březnu“ je v publikovaných a internetových článcích často nesprávně zkracována na „po 21. březnu“, což vede k nesprávným datům Velikonoc.

V příkladu je tento velikonoční úplněk 16. dubna. Pokud je dominantní písmeno E, pak velikonoční den připadá na 20. dubna.

Označení „25“ (na rozdíl od „xxv“) se používá následovně: V rámci metonického cyklu se roky, které jsou od sebe vzdáleny 11 let, liší o jeden den. Měsíc začínající datem, které má označení xxiv a xxv impaktované dohromady, má buď 29, nebo 30 dní. Pokud se epakty 24 a 25 vyskytují v rámci jednoho metonického cyklu, pak by novoluní (a úplněk) připadly na stejná data těchto dvou let. To je možné u skutečného Měsíce, ale ve schematickém lunárním kalendáři je to neelegantní; data by se měla opakovat až po 19 letech. Abychom se tomu vyhnuli, v letech, které mají efakty 25 a se zlatým číslem větším než 11, připadá přepočtené novoluní na datum s označením 25, nikoliv xxv. Tam, kde jsou označení 25 a xxv společně, není problém, protože jsou stejná. Tím se problém nepřesouvá na dvojici „25“ a „xxvi“, protože nejdříve by se mohl objevit epakt 26 ve 23. roce cyklu, který trvá pouze 19 let: mezi nimi je saltus lunae, díky němuž novoluní připadají na samostatná data.

Gregoriánský kalendář má korekci tropického roku vypuštěním tří přestupných dnů za 400 let (vždy ve stoletém roce). Jedná se o korekci délky tropického roku, která by však neměla mít žádný vliv na metonický vztah mezi roky a lunacemi. Proto je to v epactu kompenzováno (částečně – viz epact) odečtením jednoho v těchto stoletých letech. To je takzvaná sluneční korekce neboli „sluneční rovnice“ („rovnice“ se používá ve středověkém významu „korekce“).

Však 19 nekorigovaných juliánských let je o něco delších než 235 lunací. Rozdíl se kumuluje do jednoho dne za přibližně 310 let. Proto se v gregoriánském kalendáři epakt opravuje přičtením 1 osmkrát za 2 500 (gregoriánských) let, vždy ve stoletém roce: jde o tzv. lunární korekci (historicky nazývanou „lunární rovnice“). První byla uplatněna v roce 1800, další v roce 2100 a bude se uplatňovat každých 300 let s výjimkou intervalu 400 let mezi roky 3900 a 4300, kdy začíná nový cyklus.

Sluneční a lunární korekce působí opačným směrem a v některých stoletých letech (například 1800 a 2100) se vzájemně ruší. Výsledkem je, že gregoriánský lunární kalendář používá epaktní tabulku, která je platná pro období od 100 do 300 let. Výše uvedená epaktní tabulka je platná pro období 1900 až 2199.

PodrobnostiUpravit

Tato metoda výpočtu má několik jemností:

Každý jiný lunární měsíc má pouze 29 dní, takže jeden den musí mít přiřazeny dvě (z 30) epaktní značky. Důvodem pro pohyb po epaktní značce „xxv/25“, a ne po jakékoli jiné, je zřejmě následující: Podle Dionýsia (v jeho úvodním dopise Petroniovi) nikájský koncil z pověření Eusebia stanovil, že první měsíc církevního lunárního roku (pašijový měsíc) má začínat mezi 8. březnem a 5. dubnem včetně a čtrnáctý den má připadnout na období mezi 21. březnem a 18. dubnem včetně, takže zahrnuje (pouze) 29 dní. Novoluní 7. března, které má epaktní označení „xxiv“, má svůj 14. den (úplněk) 20. března, což je příliš brzy (nenásleduje po 20. březnu). Takže roky s epaktem „xxiv“, pokud by lunární měsíc začínající 7. března měl 30 dní, by měly své velikonoční novoluní 6. dubna, což je příliš pozdě: Úplněk by připadl na 19. dubna a Velikonoce by mohly být až 26. dubna. V juliánském kalendáři bylo nejzazší datum Velikonoc 25. dubna a gregoriánská reforma tuto hranici zachovala. Velikonoční úplněk tedy musí připadnout nejpozději na 18. dubna a novoluní na 5. dubna, což má epaktní označení „xxv“. Pátý duben tedy musí mít dvojí epaktní označení „xxiv“ a „xxv“. Pak je třeba s epaktem „xxv“ zacházet jinak, jak je vysvětleno v odstavci výše.

V důsledku toho je 19. duben datem, na které v gregoriánském kalendáři nejčastěji připadají Velikonoce: V přibližně 3,87 % let. Nejméně často připadá 22. březen, a to v 0,48 %.

Rozložení data Velikonoc pro celý 5 700 000letý cyklus

Vztah mezi daty lunárního a solárního kalendáře je proveden nezávisle na schématu přestupných dnů pro solární rok. Gregoriánský kalendář v podstatě stále používá juliánský kalendář s přestupným dnem každé čtyři roky, takže metonický cyklus 19 let má 6 940 nebo 6 939 dní s pěti nebo čtyřmi přestupnými dny. Nyní lunární cyklus čítá pouze 19 × 354 + 19 × 11 = 6 935 dní. Tím, že se přestupný den neoznačuje a nepočítá s číslem, ale příští novoluní připadá na stejné kalendářní datum jako bez přestupného dne, se aktuální lunace prodlouží o jeden den a 235 lunací pokryje tolik dní, kolik je 19 let. Břemeno synchronizace kalendáře s Měsícem (střednědobá přesnost) je tedy přeneseno na sluneční kalendář, který může používat libovolné vhodné interkalační schéma; to vše za předpokladu, že 19 slunečních let = 235 lunací (dlouhodobá nepřesnost). Důsledkem toho je, že počítané stáří Měsíce se může lišit o jeden den a že lunace, které obsahují přestupný den, mohou být dlouhé 31 dní, což by se při sledování skutečného Měsíce nikdy nestalo (krátkodobá nepřesnost). To je cena za pravidelné přizpůsobování se slunečnímu kalendáři.

Z pohledu těch, kteří by snad chtěli používat gregoriánský velikonoční cyklus jako kalendář pro celý rok, existují v gregoriánském lunárním kalendáři některé nedostatky (i když nemají žádný vliv na velikonoční měsíc a datum Velikonoc):

1. Dochází k lunacím o délce 31 (a někdy 28) dnů.
2. Pokud se stane, že rok se zlatým číslem 19 má epakt 19, pak poslední církevní novoluní připadá na 2. prosince; další by mělo nastat 1. ledna. Na začátku nového roku však saltus lunae zvyšuje epakt o další jednotku a novoluní by mělo nastat předchozí den. Novoluní tedy chybí. Kalendář Missale Romanum to zohledňuje tím, že 31. prosinci takového roku přiřazuje místo „xx“ označení epactu „19“, čímž se toto datum stává novoluním. Stávalo se to každých 19 let, když platila původní gregoriánská epaktní tabulka (naposledy v roce 1690), a příště se to stane v roce 8511.
3. Pokud je epakt roku 20, připadá církevní novoluní na 31. prosince. Pokud tento rok připadá na rok před stoletím, pak ve většině případů sluneční korekce snižuje epakt pro nový rok o jedničku: Výsledný epakt „*“ znamená, že další církevní novoluní se počítá k 1. lednu. Formálně tedy uplynula lunace o jeden den. To se příště stane v letech 4199-4200.
4. Další hraniční případy se vyskytují (mnohem) později, a pokud se striktně dodržují pravidla a tyto případy nejsou speciálně ošetřeny, generují po sobě jdoucí data novoluní, která jsou od sebe vzdálena 1, 28, 59 nebo (velmi vzácně) 58 dní.

Důkladná analýza ukazuje, že díky způsobu, jakým jsou v gregoriánském kalendáři používány a opravovány, jsou efakty ve skutečnosti zlomky lunace (1/30, známé také jako tithi), a nikoli celé dny. Viz diskuse o epaktech.

Sluneční a lunární korekce se opakují po 4 × 25 = 100 stoletích. V tomto období se epakt změnil celkem o -1 × 3/4 × 100 + 1 × 8/25 × 100 = -43 ≡ 17 mod 30. V tomto období se epakt změnil celkem o -1 × 3/4 × 100 + 1 × 8/25 × 100 = -43 ≡ 17 mod 30. To je prvočíslo 30 možných epaktů, takže trvá 100 × 30 = 3 000 století, než se epakty zopakují; a 3 000 × 19 = 57 000 století, než se epakty zopakují při stejném zlatém čísle. Toto období má 5 700 000/19 × 235 – 43/30 × 57 000/100 = 70 499 183 lunací. Gregoriánská velikonoční data se tedy opakují v naprosto stejném pořadí až po 5 700 000 letech, 70 499 183 lunacích neboli 2 081 882 250 dnech; střední délka lunace je pak 29,53058690 dne. Kalendář však musel být již po několika tisíciletích upraven kvůli změnám délky tropického roku, synodického měsíce a dne.

Grafy dat západní (katolické) a východní (pravoslavné) velikonoční neděle v porovnání s březnovou rovnodenností a úplňkem v letech 1950 až 2050 podle gregoriánského kalendáře

Vzniká otázka, proč má gregoriánský lunární kalendář oddělené sluneční a lunární korekce, které se někdy vzájemně ruší. Liliova původní práce se nedochovala, ale jeho návrh byl popsán ve sborníku Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium, který byl rozšířen v roce 1577 a v němž se vysvětluje, že jím navržený systém korekcí měl být dokonale flexibilním nástrojem v rukou budoucích reformátorů kalendáře, protože sluneční a lunární kalendář bude napříště možné korigovat bez vzájemného ovlivňování. Příkladem této flexibility byla alternativní interkalační posloupnost odvozená z Koperníkových teorií spolu s odpovídajícími epaktními korekcemi.

„Sluneční korekce“ přibližně ruší vliv gregoriánských úprav přestupných dnů slunečního kalendáře na kalendář lunární: (částečně) vrací epaktní cyklus do původního metonického vztahu mezi juliánským rokem a lunárním měsícem. Přirozený nesoulad mezi Sluncem a Měsícem v tomto základním 19letém cyklu je pak každé tři nebo čtyři století korigován „lunární korekcí“ epaktů. K epaktním korekcím však dochází na začátku gregoriánských, nikoliv juliánských století, a proto není původní juliánský metonický cyklus plně obnoven.

Přestože čisté 4 × 8 – 3 × 25 = 43 epaktních odečtů by mohlo být rovnoměrně rozloženo na 10 000 let (jak navrhl například Dr. Heiner Lichtenberg)., pokud se korekce sčítají, pak se sčítají i nepřesnosti obou cyklů a nelze je korigovat odděleně.

Poměry (průměrných slunečních) dnů za rok a dnů za měsíc se mění jednak kvůli vlastním dlouhodobým změnám oběžných drah, jednak kvůli zpomalování rotace Země v důsledku slapového zpomalování, takže gregoriánské parametry jsou stále zastaralejší.

To sice ovlivňuje datum rovnodennosti, ale tak se stalo, že interval mezi severními (jarními) rovnodennostmi na severní polokouli byl v historických dobách poměrně stabilní, zejména pokud se měří ve středním slunečním čase (viz např.)

Také posun církevních úplňků vypočítaných gregoriánskou metodou oproti skutečným úplňkům je ovlivněn méně, než by se dalo očekávat, protože nárůst délky dne je téměř přesně kompenzován nárůstem délky měsíce, protože slapové brzdění přenáší úhlový moment rotace Země na orbitální úhlový moment Měsíce.

Ptolemaiovská hodnota délky středního synodického měsíce, stanovená kolem 4. století př. n. l. Babyloňany, je 29 dní 12 hod 44 min 3+1/3 s (viz Kidinnu); současná hodnota je o 0,46 s menší (viz Novoluní). Ve stejném historickém časovém úseku se délka průměrného tropického roku zmenšila přibližně o 10 s (všechny hodnoty znamenají sluneční čas).

British Calendar Act and Book of Common PrayerEdit

Výše uvedená část oddílu Tabulkové metody popisuje historické argumenty a metody, kterými katolická církev koncem 16. století rozhodla o současných datech velikonoční neděle. V Británii, kde se tehdy ještě používal juliánský kalendář, byla velikonoční neděle od roku 1662 do roku 1752 (v souladu s předchozí praxí) definována jednoduchou tabulkou dat v anglikánské modlitební knize (nařízené zákonem o jednotnosti z roku 1662). Tabulka byla indexována přímo zlatým číslem a písmenem neděle, u nichž se předpokládalo, že jsou (ve velikonoční části knihy) již známy.

Pro britské impérium a kolonie bylo nové určení data velikonoční neděle definováno takzvaným Calendar (New Style) Act 1750 s jeho přílohou. Tato metoda byla zvolena tak, aby data souhlasila s gregoriánským pravidlem, které se již používalo jinde. Zákon vyžadoval, aby byl zaveden do Book of Common Prayer, a proto je obecným anglikánským pravidlem. Původní zákon je k nahlédnutí v britských Statutes at Large z roku 1765. V příloze zákona je uvedena definice: „Velikonoční den (na němž závisí ostatní) je vždy první neděle po úplňku, který nastává dvacátého prvního března nebo následujícího dne po něm. A připadne-li Úplněk na neděli, je dnem Velikonoc neděle následující.“ Příloha následně používá termíny „pašijový úplněk“ a „církevní úplněk“, čímž dává najevo, že se blíží skutečnému úplňku.

Tato metoda je zcela odlišná od výše popsané v gregoriánském kalendáři. Pro obecný rok se nejprve určí zlaté číslo, pak se pomocí tří tabulek určí nedělní písmeno, „šifra“ a datum pašijového úplňku, z něhož vyplývá datum velikonoční neděle. Epakt se výslovně neuvádí. Jednodušší tabulky lze použít pro omezená období (např. 1900-2199), během nichž se cypher (který představuje vliv slunečních a měsíčních korekcí) nemění. Při konstrukci metody byly použity Claviovy detaily, které však nehrají žádnou následnou roli při jejím používání.

J. R. Stockton ukazuje své odvození účinného počítačového algoritmu, který lze vysledovat podle tabulek v modlitební knize a kalendářním zákoně (za předpokladu, že je k dispozici popis, jak tabulky používat), a ověřuje jeho postupy výpočtem odpovídajících tabulek.

Juliánský kalendářEdit

Rozložení data Velikonoc ve většině východních církví 1900-2099 oproti západnímu rozložení Velikonoc

Způsob výpočtu data církevního úplňku, který byl pro západní církev standardní před reformou gregoriánského kalendáře, a dodnes ji používá většina východních křesťanů, využívala nekorigované opakování devatenáctiletého metonického cyklu v kombinaci s juliánským kalendářem. Pokud jde o výše zmíněnou metodu epaktů, ve skutečnosti se používala jediná epaktová tabulka začínající epaktem 0, který nebyl nikdy korigován. V tomto případě byl epakt počítán k 22. březnu, což je nejbližší přijatelné datum Velikonoc. To se opakuje každých 19 let, takže existuje pouze 19 možných dat pro velikonoční úplněk od 21. března do 18. dubna včetně.

Protože neexistují žádné korekce jako u gregoriánského kalendáře, vzdaluje se církevní úplněk od skutečného úplňku o více než tři dny každé tisíciletí. Je již o několik dní později. V důsledku toho východní církve slaví Velikonoce asi v 50 % případů o týden později než západní církve. (Východní Velikonoce jsou občas o čtyři nebo pět týdnů později, protože juliánský kalendář je v letech 1900-2099 o 13 dní pozadu za gregoriánským, a tak gregoriánský velikonoční úplněk někdy nastává před juliánským 21. března)

Pořadové číslo roku v 19letém cyklu se nazývá jeho zlaté číslo. Tento termín byl poprvé použit v komputistické básni Massa Compoti Alexandra de Villa Dei v roce 1200. Pozdější písař doplnil zlaté číslo do tabulek, které původně sestavil Abbo z Fleury v roce 988.

Tvrzení katolické církve v papežské bule Inter gravissimas z roku 1582, kterou byl vyhlášen gregoriánský kalendář, že obnovuje „slavení Velikonoc podle pravidel stanovených …. velkým ekumenickým koncilem v Niceji“ se zakládalo na nepravdivém tvrzení Dionysia Exigua (525), že „datum Velikonoc … určujeme podle návrhu, na němž se shodlo 318 církevních otců na koncilu v Niceji“. První nicejský koncil (325) však nestanovil žádná výslovná pravidla pro určení tohoto data, ale pouze napsal: „Všichni naši bratři na Východě, kteří se dříve řídili zvykem Židů, mají od nynějška slavit zmíněný nejsvětější svátek Velikonoc ve stejnou dobu s Římany i s vámi a se všemi těmi, kteří Velikonoce dodržují od počátku“. Středověký computus vycházel z alexandrijského computu, který vytvořila alexandrijská církev v prvním desetiletí 4. století s použitím alexandrijského kalendáře. 36 Východořímská říše jej přijala krátce po roce 380 po převedení computu na juliánský kalendář. 48 Řím jej přijal někdy mezi 6. a 9. stoletím. Britské ostrovy jej přijaly během osmého století s výjimkou několika klášterů. Francie (celá západní Evropa kromě Skandinávie (pohanské), Britských ostrovů, Pyrenejského poloostrova a jižní Itálie) jej přijala během poslední čtvrtiny osmého století. Poslední keltský klášter, který ji přijal, Iona, tak učinil v roce 716, zatímco poslední anglický klášter ji přijal v roce 931. Před těmito daty se data Velikonoční neděle podle jiných metod lišila až o pět týdnů.

Tato tabulka obsahuje data velikonočních úplňků pro všechny juliánské roky od roku 931:

.

Příklad výpočtu pomocí této tabulky:

Zlaté číslo pro 1573 je 16 (1573 + 1 = 1574; 1574 ÷ 19 = 82 zbytek 16). Z tabulky vyplývá, že pašijový úplněk pro zlaté číslo 16 je 21. března. Z tabulky týdnů je 21. březen sobota. Velikonoční neděle je následující neděle 22. března.

Pro dané datum církevního úplňku tedy existuje sedm možných termínů Velikonoc. Cyklus nedělních listů se však neopakuje po sedmi letech: kvůli přerušení přestupným dnem každé čtyři roky je úplný cyklus, v němž se všední dny v kalendáři opakují stejným způsobem, 4 × 7 = 28 let, tzv. sluneční cyklus. Velikonoční data se tedy opakují ve stejném pořadí po 4 × 7 × 19 = 532 letech. Tento velikonoční cyklus se také nazývá viktoriánský cyklus podle Viktora Akvitánského, který jej v roce 457 zavedl v Římě. Je známo, že jej poprvé použil Annianus Alexandrijský na počátku 5. století. Někdy se mu také mylně říká dionýský cyklus podle Dionýsia Exigua, který připravil velikonoční tabulky, jež začínaly rokem 532; ten si však zřejmě neuvědomil, že alexandrijský computus, který popsal, má 532letý cyklus, i když si uvědomoval, že jeho 95letá tabulka není pravým cyklem. Zdá se, že ctihodný Beda (7. století) byl první, kdo identifikoval sluneční cyklus a vysvětlil velikonoční cyklus z metonického cyklu a slunečního cyklu.

Ve středověké západní Evropě se výše uvedená data velikonočního úplňku (14. nisanu) dala zapamatovat pomocí 19řádkové aliterativní básně v latině:

Nonae Aprilis	norunt quinos	V
octonae kalendae	assim depromunt.	I
Idus Aprilis	etiam sexis,	VI
nonae quaternae	namque dipondio.	II
Item undene	ambiunt quinos,	V
quatuor idus	capiunt ternos.	III
Ternas kalendas	titulant seni,	VI
quatuor dene	cubant in quadris.	IIII
Septenas idus	septem eligunt,	VII
senae kalendae	sortiunt ternos,	III
denis septenis	donant assim.	I
Pridie nonas	porro quaternis,	IIII
nonae kalendae	notantur septenis.	VII
Pridie idus	panditur quinis,	V
kalendas Aprilis	exprimunt unus.	I
Duodene namque	docte quaternis,	IIII
speciem quintam	speramus duobus.	II
Quaternae kalendae	quinque coniciunt,	V
quindene constant	tribus adeptis.	III

První půlřádek každého řádku uvádí datum pašijového úplňku z výše uvedené tabulky pro každý rok 19letého cyklu. Druhý půlřádek uvádí feriální regulár, neboli posunutí dne v týdnu, dne paschálního úplňku daného roku ze souběhu, neboli všedního dne 24. března:xlvii Feriální regulár se opakuje římskými číslicemi ve třetím sloupci.

„Paradoxní“ data VelikonocRedakce

Vzhledem k nesrovnalostem mezi přibližnými hodnotami komputistických výpočtů času střední jarní rovnodennosti a měsíčních fází a skutečnými hodnotami vypočtenými podle astronomických principů vznikají občas rozdíly mezi datem Velikonoc podle komputistického počítání a hypotetickým datem Velikonoc vypočteným astronomickými metodami podle principů připisovaných církevním otcům. Tyto rozdíly se nazývají „paradoxní“ data Velikonoc. Regiomontanus ve svém Kalendáři z roku 1474 vypočítal přesný čas všech konjunkcí Slunce a Měsíce pro zeměpisnou délku Norimberka podle Alfonsinových tabulek pro období 1475-1531. Ve své práci zaznamenal 30 případů, kdy se Velikonoce podle juliánského computu neshodovaly s Velikonocemi vypočtenými podle astronomického novoluní. V osmnácti případech se datum lišilo o týden, v sedmi případech o 35 dní a v pěti případech o 28 dní.

Ludwig Lange zkoumal a klasifikoval různé typy paradoxních dat Velikonoc pomocí gregoriánského computu. V případech, kdy první jarní úplněk podle astronomického výpočtu připadá na neděli a computus uvádí jako Velikonoce stejnou neděli, nastávají slavené Velikonoce o týden dříve oproti hypotetickým „astronomicky“ správným Velikonocům. Lange tento případ nazval negativním týdenním (hebdomadálním) paradoxem (H- paradox). Pokud astronomický výpočet udává pro první jarní úplněk sobotu a Velikonoce se neslaví bezprostředně následující neděli, ale o týden později, slaví se Velikonoce podle computu o týden později ve srovnání s astronomickým výsledkem. Takové případy klasifikoval jako pozitivní týdenní (hebdomadální) paradox (H+ paradox). Nesrovnalosti jsou ještě větší, pokud existuje rozdíl podle jarní rovnodennosti s ohledem na astronomickou teorii a aproximaci computu. Pokud astronomický rovnodenní úplněk připadá na dobu před komputovým rovnodenním úplňkem, slaví se Velikonoce o čtyři nebo dokonce o pět týdnů později. Takové případy se podle Langeho nazývají pozitivní ekvinokciální paradox (A+ paradox). V opačném případě, kdy komputistický rovnodennostní úplněk připadá měsíc před astronomickým rovnodennostním úplňkem, se Velikonoce slaví o čtyři nebo pět týdnů dříve. Takové případy se nazývají negativní ekvinokciální paradox (A- paradox). Rovnodennostní paradoxy platí vždy globálně pro celou Zemi, protože pořadí rovnodennosti a úplňku nezávisí na zeměpisné délce. Naproti tomu týdenní paradoxy jsou ve většině případů lokální a platí pouze pro část Země, protože změna dne mezi sobotou a nedělí závisí na zeměpisné délce. Výpočetní výpočty vycházejí z astronomických tabulek platných pro zeměpisnou délku Benátek, kterou Lange nazval gregoriánskou zeměpisnou délkou.

V 21. a 22. století se záporné týdenní paradoxní velikonoční dny vyskytují v letech 2049, 2076, 2106, 2119 (globálně), 2133, 2147, 2150, 2170 a 2174; kladné týdenní paradoxní dny v letech 2045, 2069, 2089 a 2096; kladné rovnodenní paradoxní dny v letech 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 a 2190. V letech 2076 a 2133 se vyskytují „dvojité paradoxy (pozitivní rovnodennostní a negativní týdenní). Záporné ekvinokciální paradoxy jsou velmi vzácné; do roku 4000 se vyskytují pouze dvakrát, a to v roce 2353, kdy jsou Velikonoce o pět týdnů dříve, a v roce 2372, kdy jsou Velikonoce o čtyři týdny dříve.

.