Jsou-li A a B dva konstantní výrazy, píšeme A = B, pokud se rovnají, a A ≠ B, pokud se nerovnají. Například pro libovolné číslo nebo výraz N platí N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². Na druhé straně 1 ≠ 2,5. S výrazy jako N = N se nelze splést, protože toho mnoho neříkají. Znak rovnosti „=“, který se vyslovuje „rovná se“, má jiné, plodnější využití.
„=“ se používá k vyjádření
Znak rovnosti „=“ se používá k vyjádření, že dva různě vypadající výrazy se ve skutečnosti rovnají. Například 1 + 1 nevypadá jako 2, ale definice symbolů 1, 2, + a pravidla aritmetiky nám říkají, že 1 + 1 = 2. V tomto případě se jedná o rovnost. Být stejný tedy nemusí nutně znamenat být stejný.
Také tvrzení, které zahrnuje symbol „=“, může, ale nemusí být správné. Zatímco 1 + 1 = 2 je správné tvrzení, 1 + 2 = 4 správné není. Totéž platí pro symbol „≠“, který se nerovná. Jeho význam je však právě opačný než u symbolu „=“. Zatímco 1 + 2 ≠ 4 je správný výrok, 1 + 1 ≠ 2 není.
„=“ se používá k zadání problému
Pokud výrazy A a B nejsou konstantní, tj. pokud obsahují proměnné, pak nejčastěji A = B znamená požadavek na nalezení hodnot proměnných, pro které se A rovná B. Například x + 1 = 4, podle toho, co může x znamenat, může, ale nemusí být správné. Požadavek vyřešit x + 1 = 4 znamená najít hodnotu (nebo hodnoty) x, které se x + 1 rovná 4. V tomto konkrétním případě existuje pouze jedna hodnota x, která splňuje zadání, a to x = 3.
Terminologie je různá. Učili mě, že výrok A = B, v němž A a B jsou konstantní, pevné výrazy, se nazývá rovnost nebo identita. Pokud obsahují proměnné, nazývá se A = B rovnice. Dnes se používá termín „rovnice“ v obou případech, přičemž v prvním případě se říká, že jde o rovnici konstantní.
Důvodem pozdějšího používání je podle mě to, že v algebře může konstantní výraz obsahovat symboly podobné proměnným, které označují obecná čísla. Například (x + y)² = x² + 2xy + y² je výrok, který se nemá řešit. Jednoduše říká, že oba výrazy, (x + y)² vlevo a x² + 2xy + y² vpravo, se rovnají bez ohledu na konkrétní hodnoty x a y. Toto použití je podobné vyjádření fyzikálních zákonů. Například v Einsteinově zákoně E = mc² jsou E a m proměnné, zatímco c je konstanta.
„=“ se používá k definování nebo pojmenování objektu
V algebře lze definovat funkci f(x) = x² + 2x³. Nejedná se ani o výrok, ani o požadavek na řešení rovnice. Jedná se o pohodlnou definici. Po jejím zadání můžeme mluvit o mocninách funkce f, o její derivaci f‘ nebo o jejích iteracích f(f(x)), f(f(f(x))), …
V geometrii lze jako další příklad zavést bod A = (2, 3) a další bod B = (-2, 5). Střední bod M = (A + B) /2 = (0, 4) leží na ose y.
Některé matematické objekty lze porovnávat, např. ze dvou různých celých čísel je jedno větší, druhé menší. Jiné matematické objekty, například komplexní čísla, nelze porovnávat, pokud se očekává, že operace porovnání bude mít určité vlastnosti.
Symbol „>“ znamená „větší než“; symbol „<“ znamená „menší než“. Například 2 < 5, 5 > 2. Chcete-li si zapamatovat, který je který, všimněte si, že oba symboly mají jednu špičatou stranu, kde je jen jeden konec, a jednu dělenou stranu se dvěma konci. Skutečnost, že 1 je menší než 2, je vyjádřena jako 1 < 2, což je totéž jako 2 > 1, tj. že 2 je větší než 1. Špičatý konec s jedním zakončením ukazuje na menší z obou výrazů.
Stejně jako symbol rovnosti, i symboly porovnání, mohou být použity k vyjádření tvrzení nebo k nastolení problému. 2 < 5 je správné tvrzení. 5 < 2 je nesprávné tvrzení. x + 2 < 5 může být správné nebo nesprávné v závislosti na hodnotě x. Můžete být požádáni, abyste našli ty hodnoty x, pro které x + 2 < 5. V případě, že je x < 5, je to nesprávné tvrzení. V takovém případě přičtením -2 k oběma stranám nerovnosti dostaneme x < 3, což je řešení x + 2 < 5.
V algebře může výrok obsahovat obecné proměnné, jako například nerovnost AM-GM: (x + y) / 2 ≥ √xy, která platí pro všechna kladná x a y.
Mimochodem, symbol „≤“ znamená „menší nebo rovno“. (x + y) / 2 ≥ √xy, se stává rovností pro x = y. Například je-li x = y = 2, pak (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
Také √xy = √2-2 = 2. Je-li x ≠ y, nerovnost se stává „striktní“: (x + y) / 2 > √xy.
Nerovnost -x² > x² nemá mezi celými čísly řešení. Nerovnost -x² ≥ x² má jedno řešení: x = 0.
Související materiálPřečtěte si více…
|Kontakt|||Přední strana||Obsah|||Aritmetika|