Vlastnosti trojúhelníků

Vlastnosti trojúhelníků

Trojúhelníky jsou třístranné uzavřené útvary. Podle velikosti stran a úhlů jsou trojúhelníky následujících typů:

• Rovnostranné trojúhelníky: Rovnostranný trojúhelník má všechny strany a úhly stejně velké. Tento typ trojúhelníku se také nazývá ostrý trojúhelník, protože všechny jeho strany měří 60°.
• Jednoramenný trojúhelník:
• Rovnoramenný trojúhelník: Rovnoramenný trojúhelník je takový, který má dvě stejné strany a dva stejné úhly:

V závislosti na úhlech jsou trojúhelníky následujících typů:

• Skálový trojúhelník: Trojúhelníky, jejichž všechny strany jsou navzájem ostroúhlé, se nazývají ostré trojúhelníky. Nejlepším příkladem tohoto typu trojúhelníku je rovnostranný trojúhelník.
• Úhlopříčný trojúhelník: Tupoúhlý trojúhelník je takový trojúhelník, který má jednu tupoúhlou stranu. Do této kategorie trojúhelníků patří rovnoramenné trojúhelníky a skalenové trojúhelníky.
• Pravoúhlý trojúhelník:

Při studiu vlastností trojúhelníku zpravidla bereme v úvahu rovnoramenné trojúhelníky, protože tento trojúhelník je směsí rovnosti a nerovnosti. Před dalším studiem vlastností trojúhelníků se podívejme na níže uvedený obrázek.

Na výše uvedeném obrázku je rovnoramenný trojúhelník PQR. Co na obrázku pozorujete? Obě strany trojúhelníku jsou stejné. Nyní pomocí úhloměru změřte také úhly. Při měření úhlů zjistíme, že ∠Q a ∠R jsou také stejné. Z toho vyplývá, že v každém rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly protilehlé ke stejným stranám také stejné.

Prohlédněte si další témata v sekci Trojúhelníky

• Souměrné trojúhelníky
• Podobnost trojúhelníků
• Nerovnost trojúhelníků
• Pythagorova věta a její aplikace
• Základní úměrnost. Věta a věta o rovnosti průsečíků

Stáhnout tahák na trojúhelníky PDF

Následující vlastnosti trojúhelníků vám objasní tento pojem:

Úhly opačné ke stejným stranám rovnoramenného trojúhelníku jsou také stejné

V rovnoramenném trojúhelníku XYZ jsou dvě strany trojúhelníku stejné. Máme XY=XZ. Zde musíme dokázat, že ∠Y =∠Z. Nakresleme nejprve trojúhelník s bodem W jako přeponou ∠X.

V Δ YXW a Δ ZXW,
XY=XZ (jak je dáno)
∠YXW = ∠ZXW (W svírá úhel ∠X)
XW=XW (společná strana)
Takže podle pravidla strany-úhel-strany (SAS); Δ YXW ≅ Δ ZXW
jako odpovídající úhly shodných trojúhelníků, ∠XYW = ∠XZW
Tedy ∠Y = ∠Z

Stáhnout NCERT Řešení pro 10. třídu Matematika

Strany protilehlé stejným úhlům trojúhelníku jsou také stejné

Tato vlastnost je obrácená k výše uvedené vlastnosti. K tomu potřebujeme změřit strany trojúhelníku pomocí měřítka a úhly pomocí úhloměru. Při měření stran, respektive úhlů dojdeme k závěru, že strany protilehlé stejným úhlům jsou také stejné. K důkazu vlastnosti použijeme pravidlo shodnosti ASA.

Řešená otázka pro tebe

Otázka 1: Na obrázku níže je zobrazen trojúhelník PQR, jehož PQ=PR, S a T jsou dva body na QR takové, že QT=RS. Ukažte, že PS=PT.

Odpověď : V Δ PQS a Δ PRT platí PQ=PR. Protože úhly protilehlé stejným stranám jsou stejné strany ∠Q = ∠R
Takže QT= RS
Takže QT-ST = RS-ST
tzn. že QS = TR
Takže pomocí pravidla kongruence SAS dojdeme k závěru, žeΔ PQS ≅ Δ PRT
Takže PS = PT

otázka č. 2: Jak se nazývá trojúhelník?

Odpověď: Vlastnost rovnostranného trojúhelníku je, že má stejné strany. Dále se trojúhelník, který má dvě stejné strany, nazývá rovnoramenný a trojúhelník, který má všechny strany různě dlouhé, se nazývá skalenový. Trojúhelník může být současně pravoúhlý i rovnoramenný, v tom případě se nazývá rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník.

Otázka 3: Kolik druhů trojúhelníků existuje?

Odpověď: Kolik druhů trojúhelníků existuje? Trojúhelníky jsou útvary se třemi stranami. Pro jednotlivé typy trojúhelníků existují různé názvy. Typ trojúhelníku závisí na délce jeho stran a velikosti úhlů (rohů). Podle délky stran rozlišujeme tři typy trojúhelníků: rovnostranný, rovnoramenný a skalenový.

Otázka 4: Co je to jedinečný trojúhelník?

Odpověď: Co je to jedinečný trojúhelník? Dva úhly a libovolná podmínka strany určují jedinečný trojúhelník. Protože má podmínka dvě různá uspořádání, rozdělujeme ji na dvě podmínky: dva úhly a zahrnutá podmínka strany a dva úhly a strana protilehlá dané podmínce úhlu.

Otázka 5: Kdo vynalezl trojúhelník?

Odpověď: Trojúhelník vynalezl Blaise Pascal v roce 1653. Přestože byl pojmenován po Blaise Pascalovi, stopy po trojúhelníku existovaly již dávno předtím, než se Blaise Pascal narodil. Předpokládá se, že Peršané a Číňané jej používali k nalezení odmocniny a krychlové odmocniny čísel.