Hvis A og B er to konstante udtryk, skriver vi A = B, hvis de er lige store, og A ≠ B, hvis de ikke er det. For et hvilket som helst tal eller udtryk N gælder f.eks. N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². På den anden side er 1 ≠ 2,5. Man kan ikke gå galt i byen med udtryk som N = N, fordi de ikke siger ret meget. Lighedstegnet “=”, som udtales “lig med”, har andre, mere frugtbare anvendelser.
“=” bruges til at lave et udsagn
Lighedstegnet “=” bruges til at lave et udsagn om, at to forskelligt udseende udtryk rent faktisk er lige store. F.eks. ligner 1 + 1 ikke 2, men definitionerne af symbolerne 1, 2 og + samt regnereglerne fortæller os, at 1 + 1 = 2. Så det at være lige betyder ikke nødvendigvis, at det er det samme.
Det udsagn, der involverer symbolet “=”, kan også være korrekt eller ej. Mens 1 + 1 = 2 er et korrekt udsagn, er 1 + 2 = 4 det ikke. Det samme gælder for symbolet “≠”, der ikke er lige. Men betydningen er lige det modsatte af “=”. Mens 1 + 2 ≠ 4 er et korrekt udsagn, er 1 + 1 ≠ 2 det ikke.
“=” bruges til at stille et problem
Hvis udtrykkene A og B ikke er konstante, dvs. hvis de indeholder variabler, betyder A = B oftest en opfordring til at finde de værdier af variablerne, for hvilke A bliver lig med B. F.eks. kan x + 1 = 4, afhængig af hvad x kan stå for, være korrekt eller ikke. Anmodningen om at løse x + 1 = 4 betyder, at man skal finde den værdi (eller de værdier) af x, som x + 1 er lig med 4. I dette særlige tilfælde er der kun én værdi af x, som opfylder opgaven, nemlig x = 3.
Terminologien varierer. Jeg har lært, at udsagnet A = B, hvor A og B er konstante, faste udtryk, kaldes en lighed eller en identitet. Hvis de indeholder variabler, kaldes A = B for en ligning. I dag bruger man udtrykket “ligning” i begge tilfælde, idet førstnævnte siges at være en konstant ligning.
Grunden til den senere brug tror jeg er, at i algebra kan et konstant udtryk indeholde variabellignende symboler til at betegne generiske tal. F.eks. er (x + y)² = x² + 2xy + y² et udsagn, som ikke skal løses. Det siger blot, at de to udtryk, (x + y)² til venstre og x² + 2xy + y² til højre, er lige store uanset specifikke værdier af x og y. Denne brug svarer til udsagnet om fysiske love. For eksempel i Einsteins lov, E = mc², er E og m variable, mens c er konstant.
I algebra kan man definere en funktion f(x) = x² + 2x³. Dette er hverken et udsagn eller en opfordring til at løse en ligning. Det er en bekvemmelighedsdefinition. Når den er givet, kan man tale om funktionens potenser f, dens afledte f’ eller dens iterater f(f(x))), f(f(f(f(x)))), …
I geometrien kan man som et andet eksempel indføre punktet A = (2, 3) og et andet punkt B = (-2, 5). Midtpunktet M = (A + B) /2 = (0, 4) ligger på y-aksen.
Symboler “<” og “>” for sammenligning
Nogle matematiske objekter kan sammenlignes, f.eks. af to forskellige hele tal er det ene større, det andet mindre. Andre matematiske objekter, f.eks. komplekse tal, kan ikke sammenlignes, hvis sammenligningsoperationen forventes at besidde visse egenskaber.
Symbolet “>” betyder “større end”; symbolet “<” betyder “mindre end”. For eksempel: 2 < 5, 5 > 2. For at huske, hvad der er hvad, skal du bemærke, at begge symboler har en spids side, hvor der kun er én ende, og en delt side med to ender. At 1 er mindre end 2 udtrykkes som 1 < 2, hvilket er det samme som 2 > 1, dvs. at 2 er større end 1. Den spidse ende med en enkelt ende peger på det mindste af de to udtryk.
Som symbolet for lighed kan symbolerne for sammenligning bruges til at fremsætte et udsagn eller til at stille et problem. 2 < 5 er et korrekt udsagn. 5 < 2 er et forkert udsagn. x + 2 < 5 kan være korrekt eller ej, afhængigt af værdien af x. Du kan blive bedt om at finde de værdier af x, for hvilke x + 2 < 5. I så fald får vi ved at lægge -2 til begge sider af uligheden x < 3, som er løsningen på x + 2 < 5.
I algebra kan et udsagn omfatte generiske variabler, som f.eks. uligheden AM-GM: (x + y) / 2 ≥ √xy, som er sandt for alle positive x og y.
Symbolet “≤” betyder forresten “mindre end eller lig med”. (x + y) / 2 ≥ √xy, bliver lighed for x = y. F.eks. hvis x = y = 2, så er (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
Desuden er √xy = √2-2 = 2. Hvis x ≠ y, bliver uligheden “streng”: (x + y) / 2 > √xy.
Ulighed -x² > x² har ingen løsninger blandt hele tal. Uligheden -x² ≥ x² har én løsning: x = 0.
Relateret materialeLæs mere…
|Kontakt||Forside||Indhold||Aritmetik|