Computus

Gregorianischer KalenderBearbeiten

Da die Reform des computus die Hauptmotivation für die Einführung des gregorianischen Kalenders im Jahr 1582 war, wurde neben dem Kalender auch eine entsprechende computus-Methodik eingeführt. Die allgemeine Arbeitsmethode wurde von Clavius in den Sechs Kanones (1582) dargelegt, eine ausführliche Erläuterung folgte in seiner Explicatio (1603).

Der Ostersonntag ist der Sonntag nach dem österlichen Vollmondtag. Das österliche Vollmonddatum ist das kirchliche Vollmonddatum am oder nach dem 21. März. Nach der gregorianischen Methode werden die österlichen Vollmonddaten durch die Bestimmung des Epakts für jedes Jahr abgeleitet. Der Epakt kann einen Wert zwischen * (0 oder 30) und 29 Tagen haben. Theoretisch beginnt ein Mondmonat (epact 0) mit dem Neumond, und die Mondsichel ist zum ersten Mal am ersten Tag des Monats sichtbar (epact 1). Der 14. Tag des Mondmonats gilt als Tag des Vollmonds.

Historisch wurde das Datum des Ostervollmonds für ein Jahr anhand seiner fortlaufenden Nummer im metonischen Zyklus, der so genannten Goldenen Zahl, ermittelt, die die Mondphase alle 19 Jahre am 1. Januar wiederholt. Diese Methode wurde bei der gregorianischen Reform aufgegeben, weil die tabellarischen Daten nach etwa zwei Jahrhunderten nicht mehr mit der Realität übereinstimmen, aber aus der Epaktmethode kann eine vereinfachte Tabelle konstruiert werden, die eine Gültigkeit von ein bis drei Jahrhunderten hat.

Die Epakte für den aktuellen metonischen Zyklus, der 2014 begann, sind:

Die obige Tabelle gilt von 1900 bis einschließlich 2199. Als Anwendungsbeispiel ist die goldene Zahl für 2038 6 (2038 ÷ 19 = 107 Rest 5, dann +1 = 6). Nach der Tabelle ist der österliche Vollmond für die goldene Zahl 6 der 18. April. Nach der Wochentabelle ist der 18. April ein Sonntag. Der Ostersonntag ist der darauffolgende Sonntag, der 25. April.

Die Epakte werden benutzt, um die Daten des Neumondes auf folgende Weise zu finden: Schreibe eine Tabelle mit allen 365 Tagen des Jahres auf (der Schalttag wird ignoriert). Dann beschriften Sie alle Daten mit einer römischen Zahl, die von „*“ (0 oder 30) über „xxix“ (29) bis „i“ (1) abwärts zählt, beginnend mit dem 1. Januar, und wiederholen dies bis zum Ende des Jahres. Zählen Sie jedoch in jedem zweiten dieser Zeiträume nur 29 Tage und bezeichnen Sie das Datum mit xxv (25) auch mit xxiv (24). Behandeln Sie also den 13. Zeitraum (die letzten elf Tage) als lang und weisen Sie den aufeinander folgenden Daten (26. bzw. 27. Dezember) die Bezeichnungen „xxv“ und „xxiv“ zu. Schließlich fügen Sie den Daten mit „xxv“ in den 30-Tage-Zeiträumen die Bezeichnung „25“ hinzu; in den 29-Tage-Zeiträumen (die „xxiv“ zusammen mit „xxv“ haben) fügen Sie dem Datum mit „xxvi“ die Bezeichnung „25“ hinzu. Die Verteilung der Monatslängen und der Länge der Epaktzyklen ist so, dass jeder zivile Kalendermonat mit derselben Epaktbezeichnung beginnt und endet, außer im Februar und bei den Epaktbezeichnungen „xxv“ und „25“ im Juli und August. Diese Tabelle wird als Calendarium bezeichnet. Die kirchlichen Neumonde für ein Jahr sind die Daten, an denen die Epakte für das Jahr eingetragen ist. Wenn die Jahreszahl z.B. 27 ist, dann gibt es an jedem Datum in diesem Jahr einen kirchlichen Neumond, der die Jahreszahl „xxvii“ (27) hat.

Beschriften Sie auch alle Daten in der Tabelle mit den Buchstaben „A“ bis „G“, beginnend mit dem 1. Januar, und wiederholen Sie dies bis zum Ende des Jahres. Wenn zum Beispiel der erste Sonntag des Jahres am 5. Januar ist, der den Buchstaben „E“ hat, dann ist jedes Datum mit dem Buchstaben „E“ ein Sonntag in diesem Jahr. Der Buchstabe „E“ wird dann als dominischer Buchstabe für dieses Jahr bezeichnet (aus dem Lateinischen: dies domini, Tag des Herrn). Der dominische Buchstabe rückt jedes Jahr um eine Position nach hinten. In Schaltjahren nach dem 24. Februar fallen die Sonntage jedoch auf den vorhergehenden Buchstaben des Zyklus, so dass es in Schaltjahren zwei Dominikalbuchstaben gibt: den ersten für den Tag vor, den zweiten für den Tag nach dem Schalttag.

In der Praxis muss dies für die Berechnung von Ostern nicht für alle 365 Tage des Jahres geschehen. Bei den Epakten kommt der März genauso heraus wie der Januar, so dass man weder den Januar noch den Februar berechnen muss. Um auch die Dominikanerbuchstaben für Januar und Februar nicht berechnen zu müssen, beginnen Sie mit D für den 1. März. Sie brauchen die Epakte nur vom 8. März bis zum 5. April. Daraus ergibt sich die folgende Tabelle:

Eine Tabelle aus Schweden zur Berechnung des Osterdatums 1140-1671 nach dem Julianischen Kalender. Man beachte die Runenschrift.

Chronologische Darstellung des Osterdatums für 600 Jahre, von der gregorianischen Kalenderreform bis zum Jahr 2200 (von Camille Flammarion, 1907)

Beispiel: Wenn die Epakte 27 (xxvii) ist, fällt ein kirchlicher Neumond auf jedes mit xxvii bezeichnete Datum. Der kirchliche Vollmond fällt 13 Tage später. Aus der obigen Tabelle ergibt sich ein Neumond am 4. März und 3. April und somit ein Vollmond am 17. März und 16. April.

Der Ostertag ist dann der erste Sonntag nach dem ersten kirchlichen Vollmond am oder nach dem 21. März. Diese Definition verwendet „am oder nach dem 21. März“, um Mehrdeutigkeiten mit der historischen Bedeutung des Wortes „nach“ zu vermeiden. Im modernen Sprachgebrauch bedeutet diese Formulierung einfach „nach dem 20. März“. Die Definition von „am oder nach dem 21. März“ wird in veröffentlichten und im Internet veröffentlichten Artikeln häufig fälschlicherweise mit „nach dem 21. März“ abgekürzt, was zu falschen Osterdaten führt.

In diesem Beispiel ist der österliche Vollmond am 16. April. Wenn der dominische Buchstabe E ist, dann ist der Ostertag am 20. April.

Die Bezeichnung „25“ (im Gegensatz zu „xxv“) wird wie folgt verwendet: Innerhalb eines metonischen Zyklus haben Jahre, die 11 Jahre auseinander liegen, Epakte, die sich um einen Tag unterscheiden. Ein Monat, der an einem Datum beginnt, auf das die Etiketten xxiv und xxv zusammen einwirken, hat entweder 29 oder 30 Tage. Wenn die Epakte 24 und 25 beide innerhalb eines metonischen Zyklus stattfinden, dann würden die Neumonde (und Vollmonde) in diesen beiden Jahren auf die gleichen Daten fallen. Dies ist für den realen Mond möglich, aber in einem schematischen Mondkalender ist es nicht elegant; die Daten sollten sich erst nach 19 Jahren wiederholen. Um dies zu vermeiden, fällt der Neumond in Jahren mit der Epakte 25 und einer Goldenen Zahl größer als 11 auf das Datum mit der Bezeichnung 25 und nicht auf xxv. Wenn die Etiketten 25 und xxv zusammen sind, gibt es kein Problem, da sie gleich sind. Dies verlagert das Problem nicht auf das Paar „25“ und „xxvi“, denn der früheste Epakt 26 könnte im Jahr 23 des Zyklus erscheinen, der nur 19 Jahre dauert: Dazwischen liegt ein saltus lunae, der die Neumonde auf getrennte Daten fallen lässt.

Der Gregorianische Kalender hat eine Korrektur des tropischen Jahres, indem er in 400 Jahren drei Schalttage streicht (immer in einem Jahrhundertjahr). Dies ist eine Korrektur der Länge des tropischen Jahres, sollte aber keine Auswirkungen auf die metonische Beziehung zwischen Jahren und Lunationen haben. Daher wird die Epakte (teilweise – siehe Epakte) kompensiert, indem in diesen Jahrhundertjahren ein Tag abgezogen wird. Dies ist die sogenannte Sonnenkorrektur oder „Sonnengleichung“ („Gleichung“ im mittelalterlichen Sinne von „Korrektur“).

Doch 19 unkorrigierte julianische Jahre sind etwas länger als 235 Lunationen. Die Differenz summiert sich auf einen Tag in etwa 310 Jahren. Deshalb wird im gregorianischen Kalender der Epakt korrigiert, indem in 2.500 (gregorianischen) Jahren achtmal 1 addiert wird, immer in einem Jahrhundertjahr: das ist die sogenannte Mondkorrektur (historisch „Mondgleichung“ genannt). Die erste Korrektur wurde im Jahr 1800 vorgenommen, die nächste im Jahr 2100, und sie wird alle 300 Jahre vorgenommen, mit Ausnahme eines Intervalls von 400 Jahren zwischen 3900 und 4300, das einen neuen Zyklus einleitet.

Die Sonnen- und Mondkorrekturen wirken in entgegengesetzter Richtung, und in einigen Jahrhundertjahren (zum Beispiel 1800 und 2100) heben sie sich gegenseitig auf. Das Ergebnis ist, dass der gregorianische Mondkalender eine Epaktentabelle verwendet, die für einen Zeitraum von 100 bis 300 Jahren gültig ist. Die oben aufgeführte Epakttabelle ist für den Zeitraum 1900 bis 2199 gültig.

DetailsBearbeiten

Diese Berechnungsmethode hat mehrere Feinheiten:

Jeder andere Mondmonat hat nur 29 Tage, so dass einem Tag zwei (der 30) Epakt-Etiketten zugewiesen werden müssen. Der Grund für die Verschiebung der Epaktbezeichnung „xxv/25“ anstelle einer anderen scheint der folgende zu sein: Laut Dionysius (in seinem einleitenden Brief an Petronius) legte das Konzil von Nizäa auf Veranlassung von Eusebius fest, dass der erste Monat des kirchlichen Mondjahres (der Ostermonat) zwischen dem 8. März und dem 5. April einschließlich beginnen und der 14. Ein Neumond am 7. März, der die Epaktbezeichnung „xxiv“ hat, hat seinen 14. Tag (Vollmond) am 20. März, was zu früh ist (nicht nach dem 20. März). Wenn also der am 7. März beginnende Mondmonat 30 Tage hätte, würde der österliche Neumond in Jahren mit der Epakte „xxiv“ am 6. April eintreten, was zu spät wäre: Der Vollmond würde auf den 19. April fallen, und Ostern könnte erst am 26. April sein. Im julianischen Kalender war das späteste Osterdatum der 25. April, und die gregorianische Reform behielt diese Grenze bei. Der österliche Vollmond muss also spätestens auf den 18. April fallen und der Neumond auf den 5. April, der mit „xxv“ gekennzeichnet ist. Der 5. April muss also die doppelte Epaktbezeichnung „xxiv“ und „xxv“ tragen. Dann muss die Epakte „xxv“ anders behandelt werden, wie im obigen Absatz erläutert.

Der 19. April ist folglich das Datum, auf das Ostern im Gregorianischen Kalender am häufigsten fällt: In etwa 3,87 % der Jahre. Am seltensten ist der 22. März mit 0,48%.

Verteilung des Osterdatums für den gesamten 5.700.000-Jahres-Zyklus

Das Verhältnis zwischen Mond- und Sonnenkalenderdaten wird unabhängig vom Schalttagsschema des Sonnenjahres gemacht. Grundsätzlich verwendet der gregorianische Kalender noch den julianischen Kalender mit einem Schalttag alle vier Jahre, so dass ein metonischer Zyklus von 19 Jahren 6.940 oder 6.939 Tage mit fünf oder vier Schalttagen hat. Der Mondzyklus zählt jetzt nur noch 19 × 354 + 19 × 11 = 6.935 Tage. Indem der Schalttag nicht mit einer Epaktzahl gekennzeichnet und gezählt wird, sondern der nächste Neumond auf dasselbe Kalenderdatum fällt wie ohne den Schalttag, wird die aktuelle Lunation um einen Tag verlängert, und die 235 Lunationen umfassen genauso viele Tage wie die 19 Jahre. Die Last der Synchronisierung des Kalenders mit dem Mond (mittelfristige Genauigkeit) wird also auf den Sonnenkalender verlagert, der ein beliebiges geeignetes Interkalationsschema verwenden kann; dies alles unter der Annahme, dass 19 Sonnenjahre = 235 Lunationen (langfristige Ungenauigkeit). Dies hat zur Folge, dass das berechnete Mondalter um einen Tag abweichen kann und dass die Lunationen, die den Schalttag enthalten, 31 Tage lang sein können, was niemals der Fall wäre, wenn man sich nach dem echten Mond richten würde (kurzfristige Ungenauigkeiten). Dies ist der Preis für eine regelmäßige Anpassung an den Sonnenkalender.

Aus der Perspektive derjenigen, die den gregorianischen Osterzyklus als Kalender für das ganze Jahr verwenden möchten, gibt es einige Mängel im gregorianischen Mondkalender (obwohl sie keine Auswirkungen auf den Ostermonat und das Osterdatum haben):

1. Lunationen von 31 (und manchmal 28) Tagen kommen vor.
2. Wenn ein Jahr mit der Goldenen Zahl 19 zufällig die Epakte 19 hat, dann fällt der letzte kirchliche Neumond auf den 2. Dezember; der nächste wäre am 1. Januar fällig. Zu Beginn des neuen Jahres erhöht jedoch ein saltus lunae die Epakte um eine weitere Einheit, und der Neumond hätte am Vortag stattfinden müssen. Ein Neumond wird also verpasst. Das Kalendarium des Missale Romanum trägt diesem Umstand Rechnung, indem es dem 31. Dezember eines solchen Jahres die Epaktbezeichnung „19“ statt „xx“ zuweist und dieses Datum zum Neumond macht. Dies geschah alle 19 Jahre, als die ursprüngliche gregorianische Epaktentafel in Kraft war (zum letzten Mal 1690), und geschieht das nächste Mal im Jahr 8511.
3. Wenn der Epakt eines Jahres 20 ist, fällt ein kirchlicher Neumond auf den 31. Dezember. Fällt dieses Jahr vor ein Jahrhundertjahr, dann wird in den meisten Fällen durch eine solare Korrektur die Epakte für das neue Jahr um eins reduziert: Der daraus resultierende Epakt „*“ bedeutet, dass am 1. Januar ein weiterer kirchlicher Neumond gezählt wird. Formal ist also eine Lunation von einem Tag vergangen. Dies geschieht das nächste Mal in den Jahren 4199-4200.
4. Andere Grenzfälle treten (viel) später auf, und wenn die Regeln strikt befolgt werden und diese Fälle nicht besonders behandelt werden, erzeugen sie aufeinanderfolgende Neumonddaten, die 1, 28, 59 oder (sehr selten) 58 Tage auseinander liegen.

Eine sorgfältige Analyse zeigt, dass durch die Art und Weise, wie sie im gregorianischen Kalender verwendet und korrigiert werden, die Epakte eigentlich Bruchteile einer Lunation (1/30, auch als Tithi bekannt) und keine vollen Tage sind. Siehe Epakt für eine Diskussion.

Die Sonnen- und Mondkorrekturen wiederholen sich nach 4 × 25 = 100 Jahrhunderten. In diesem Zeitraum hat sich der Epakt um insgesamt -1 × 3/4 × 100 + 1 × 8/25 × 100 = -43 ≡ 17 mod 30 verändert. Dies ist eine Primzahl zu den 30 möglichen Epakten, so dass es 100 × 30 = 3.000 Jahrhunderte dauert, bis sich die Epakte wiederholen; und 3.000 × 19 = 57.000 Jahrhunderte, bis sich die Epakte mit derselben goldenen Zahl wiederholen. Dieser Zeitraum hat 5.700.000/19 × 235 – 43/30 × 57.000/100 = 70.499.183 Lunationen. Die gregorianischen Osterdaten wiederholen sich also erst nach 5.700.000 Jahren, 70.499.183 Lunationen oder 2.081.882.250 Tagen in genau der gleichen Reihenfolge; die mittlere Lunationslänge beträgt dann 29,53058690 Tage. Allerdings muss der Kalender schon nach einigen Jahrtausenden angepasst worden sein, weil sich die Länge des tropischen Jahres, des synodischen Monats und des Tages geändert hat.

Diagramme der Daten des westlichen (katholischen) und östlichen (orthodoxen) Ostersonntags im Vergleich mit der März-Tagundnachtgleiche und den Vollmonden von 1950 bis 2050 nach dem gregorianischen Kalender

Dies wirft die Frage auf, warum der gregorianische Mondkalender getrennte Sonnen- und Mondkorrekturen hat, die sich manchmal gegenseitig aufheben. Lilius‘ ursprüngliche Arbeit ist nicht erhalten, aber sein Vorschlag wurde im Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium beschrieben, das 1577 in Umlauf gebracht wurde. Darin wird erklärt, dass das von ihm entwickelte Korrektursystem ein vollkommen flexibles Werkzeug in den Händen künftiger Kalenderreformer sein sollte, da der Sonnen- und der Mondkalender von nun an ohne gegenseitige Beeinflussung korrigiert werden konnten. Ein Beispiel für diese Flexibilität lieferte eine alternative, von Kopernikus‘ Theorien abgeleitete Interkalationssequenz mit den entsprechenden Epaktkorrekturen.

Die „Sonnenkorrekturen“ machen die Auswirkungen der gregorianischen Änderungen der Schalttage des Sonnenkalenders auf den Mondkalender annähernd wieder rückgängig: Sie bringen den Epaktzyklus (teilweise) auf das ursprüngliche metonische Verhältnis zwischen dem julianischen Jahr und dem Mondmonat zurück. Das inhärente Missverhältnis zwischen Sonne und Mond in diesem grundlegenden 19-jährigen Zyklus wird dann alle drei oder vier Jahrhunderte durch die „Mondkorrektur“ der Epakte korrigiert. Die Epaktkorrekturen finden jedoch zu Beginn der gregorianischen und nicht der julianischen Jahrhunderte statt, so dass der ursprüngliche julianische metonische Zyklus nicht vollständig wiederhergestellt wird.

Die Nettoabzüge von 4 × 8 – 3 × 25 = 43 Epakten könnten zwar gleichmäßig über 10.000 Jahre verteilt werden (wie beispielsweise von Dr. Heiner Lichtenberg vorgeschlagen).

Die Verhältnisse der (mittleren Sonnen-)Tage pro Jahr und der Tage pro Lunation ändern sich sowohl aufgrund von intrinsischen Langzeitvariationen in den Bahnen als auch aufgrund der Verlangsamung der Erdrotation durch die Gezeiten, so dass die gregorianischen Parameter zunehmend veraltet sind, wenn die Korrekturen kombiniert werden.

Dies wirkt sich zwar auf das Datum der Tagundnachtgleiche aus, aber zufälligerweise ist das Intervall zwischen den Tagundnachtgleichen auf der Nordhalbkugel im Laufe der Geschichte ziemlich stabil geblieben, vor allem, wenn man es in mittlerer Sonnenzeit misst (siehe, insb.)

Auch die Abweichung der nach der gregorianischen Methode berechneten kirchlichen Vollmonde von den wahren Vollmonden ist weniger betroffen, als man erwarten würde, denn die Zunahme der Tageslänge wird fast genau durch die Zunahme der Monatslänge kompensiert, da die Gezeitenbremse den Drehimpuls der Erdrotation auf den Bahndrehimpuls des Mondes überträgt.

Der ptolemäische Wert für die Länge des mittleren synodischen Monats, der um das 4. Jahrhundert v. Chr. von den Babyloniern festgelegt wurde, beträgt 29 Tage 12 Std. 44 Min. 3+1/3 s (siehe Kidinnu); der heutige Wert ist um 0,46 s geringer (siehe Neumond). Im gleichen historischen Zeitraum hat sich die Länge des mittleren tropischen Jahres um etwa 10 s verringert (alle Werte beziehen sich auf die Sonnenzeit).

British Calendar Act and Book of Common PrayerEdit

Der obige Abschnitt über die tabellarischen Methoden beschreibt die historischen Argumente und Methoden, mit denen die heutigen Daten des Ostersonntags im späten 16. In Großbritannien, wo damals noch der julianische Kalender in Gebrauch war, wurde der Ostersonntag von 1662 bis 1752 (in Übereinstimmung mit der früheren Praxis) durch eine einfache Datentabelle im anglikanischen Gebetbuch festgelegt (verordnet durch den Act of Uniformity 1662). Die Tabelle wurde direkt durch die goldene Zahl und den Sonntagsbuchstaben indiziert, die (im Osterabschnitt des Buches) als bereits bekannt vorausgesetzt wurden.

Für das Britische Empire und die Kolonien wurde die neue Bestimmung des Datums des Ostersonntags durch den so genannten Calendar (New Style) Act 1750 mit seinem Anhang festgelegt. Die Methode wurde gewählt, um Daten zu erhalten, die mit der anderswo bereits verwendeten gregorianischen Regel übereinstimmen. Das Gesetz verlangte, dass es in das Book of Common Prayer aufgenommen wurde, und daher ist es die allgemeine anglikanische Regel. Das Original des Gesetzes ist in den British Statutes at Large 1765 zu finden. Der Anhang des Gesetzes enthält die Definition: „Der Ostertag (von dem der Rest abhängt) ist immer der erste Sonntag nach dem Vollmond, der am oder nach dem einundzwanzigsten Tag des März stattfindet. Fällt der Vollmond auf einen Sonntag, so ist der Ostertag der darauf folgende Sonntag.“ In der Anlage werden dann die Begriffe „österlicher Vollmond“ und „kirchlicher Vollmond“ verwendet, um deutlich zu machen, dass sie sich dem tatsächlichen Vollmond annähern.

Die Methode unterscheidet sich deutlich von der oben beschriebenen im gregorianischen Kalender. Für ein allgemeines Jahr bestimmt man zunächst die goldene Zahl, dann ermittelt man anhand von drei Tabellen den Sonntagsbuchstaben, eine „Chiffre“ und das Datum des österlichen Vollmonds, aus dem sich das Datum des Ostersonntags ergibt. Der Epakt wird nicht ausdrücklich erwähnt. Einfachere Tabellen können für begrenzte Zeiträume (z. B. 1900-2199) verwendet werden, in denen sich die Ziffern (die die Auswirkungen der Sonnen- und Mondkorrekturen darstellen) nicht ändern. Clavius‘ Angaben wurden bei der Konstruktion der Methode verwendet, spielen aber bei ihrer späteren Anwendung keine Rolle.

J. R. Stockton zeigt seine Herleitung eines effizienten Computeralgorithmus, der sich auf die Tabellen im Gebetbuch und im Kalendergesetz zurückführen lässt (vorausgesetzt, es liegt eine Beschreibung der Verwendung der Tabellen vor), und verifiziert seine Verfahren durch Berechnung übereinstimmender Tabellen.

Julianischer KalenderBearbeiten

Verteilung des Osterdatums in den meisten östlichen Kirchen 1900-2099 vs. westliche Osterverteilung

Die Methode zur Berechnung des Datums des kirchlichen Vollmonds, die in der westlichen Kirche vor der gregorianischen Kalenderreform Standard war, und heute noch von den meisten östlichen Christen verwendet wird, nutzte eine unkorrigierte Wiederholung des 19-jährigen metonischen Zyklus in Kombination mit dem julianischen Kalender. Was die oben beschriebene Methode der Epakte anbelangt, so wurde tatsächlich eine einzige Epaktentabelle verwendet, die mit einer Epakte von 0 begann und nie korrigiert wurde. In diesem Fall wurde die Epakte am 22. März gezählt, dem frühesten akzeptablen Datum für Ostern. Dies wiederholt sich alle 19 Jahre, so dass es nur 19 mögliche Daten für den österlichen Vollmond gibt, vom 21. März bis einschließlich 18. April.

Da es keine Korrekturen wie beim Gregorianischen Kalender gibt, entfernt sich der kirchliche Vollmond alle Jahrtausende um mehr als drei Tage vom wahren Vollmond. Er ist bereits einige Tage später. Das hat zur Folge, dass die Ostkirchen das Osterfest in etwa 50 % der Fälle eine Woche später feiern als die Westkirchen. (Das östliche Osterfest ist gelegentlich vier oder fünf Wochen später, weil der julianische Kalender in den Jahren 1900-2099 13 Tage hinter dem gregorianischen zurückliegt und der gregorianische Ostervollmond daher manchmal vor dem julianischen 21. März liegt.)

Die laufende Nummer eines Jahres im 19-Jahres-Zyklus wird seine goldene Zahl genannt. Dieser Begriff wurde erstmals in dem computistischen Gedicht Massa Compoti von Alexander de Villa Dei im Jahr 1200 verwendet. Ein späterer Schreiber fügte die goldene Zahl zu Tabellen hinzu, die ursprünglich von Abbo von Fleury im Jahr 988 verfasst worden waren.

Die Behauptung der katholischen Kirche in der päpstlichen Bulle Inter gravissimas von 1582, die den gregorianischen Kalender verkündete, dass sie „die Feier des Osterfestes nach den Regeln wiederhergestellt hat, die von …. das große ökumenische Konzil von Nizäa festgelegt hat“, stützte sich auf eine falsche Behauptung von Dionysius Exiguus (525), dass „wir das Datum des Ostertages … in Übereinstimmung mit dem Vorschlag bestimmen, auf den sich die 318 Kirchenväter auf dem Konzil von Nizäa geeinigt haben“. Das Erste Konzil von Nizäa (325) gab jedoch keine ausdrücklichen Regeln für die Festlegung dieses Datums vor, sondern schrieb nur: „Alle unsere Brüder im Osten, die früher dem Brauch der Juden folgten, sollen von nun an das besagte heiligste Osterfest zur gleichen Zeit feiern wie die Römer und ihr selbst und alle, die das Osterfest von Anfang an beobachtet haben.“ Der mittelalterliche computus basierte auf dem alexandrinischen computus, der von der Kirche von Alexandria im ersten Jahrzehnt des 4. Jahrhunderts unter Verwendung des alexandrinischen Kalenders entwickelt wurde:36 Das Oströmische Reich übernahm ihn kurz nach 380, nachdem es den computus in den julianischen Kalender umgewandelt hatte:48 Rom übernahm ihn irgendwann zwischen dem sechsten und neunten Jahrhundert. Die Britischen Inseln nahmen ihn im achten Jahrhundert an, mit Ausnahme einiger Klöster. Francia (ganz Westeuropa außer Skandinavien (heidnisch), den Britischen Inseln, der Iberischen Halbinsel und Süditalien) nahm ihn im letzten Viertel des achten Jahrhunderts an. Das letzte keltische Kloster, das es annahm, Iona, tat dies 716, während das letzte englische Kloster es 931 annahm. Vor diesen Daten ergaben andere Methoden Daten für den Ostersonntag, die um bis zu fünf Wochen abweichen konnten.

Dies ist die Tabelle der österlichen Vollmonddaten für alle julianischen Jahre seit 931:

Beispielrechnung mit dieser Tabelle:

Die goldene Zahl für 1573 ist 16 (1573 + 1 = 1574; 1574 ÷ 19 = 82, Rest 16). Aus der Tabelle geht hervor, dass der österliche Vollmond für die goldene Zahl 16 der 21. März ist. In der Wochentabelle ist der 21. März ein Samstag. Der Ostersonntag ist der folgende Sonntag, der 22. März.

Für ein bestimmtes Datum des kirchlichen Vollmonds gibt es also sieben mögliche Ostertermine. Der Zyklus der Sonntagsbuchstaben wiederholt sich jedoch nicht in sieben Jahren: wegen der Unterbrechungen durch den Schalttag alle vier Jahre beträgt der volle Zyklus, in dem sich die Wochentage im Kalender auf die gleiche Weise wiederholen, 4 × 7 = 28 Jahre, der sogenannte Sonnenzyklus. Die Osterdaten wiederholen sich also in der gleichen Reihenfolge nach 4 × 7 × 19 = 532 Jahren. Dieser österliche Zyklus wird auch als viktorianischer Zyklus bezeichnet, nach Victorius von Aquitanien, der ihn im Jahr 457 in Rom einführte. Es ist bekannt, dass er erstmals von Annianus von Alexandria zu Beginn des 5. Jahrhunderts verwendet wurde. Manchmal wird er auch fälschlicherweise als dionysischer Zyklus bezeichnet, nach Dionysius Exiguus, der Ostertabellen erstellte, die im Jahr 532 begannen; er war sich jedoch offenbar nicht bewusst, dass der von ihm beschriebene alexandrinische computus einen 532-Jahres-Zyklus hatte, obwohl er wusste, dass seine 95-Jahres-Tabelle kein echter Zyklus war. Der ehrwürdige Bede (7. Jahrhundert) scheint der erste gewesen zu sein, der den Sonnenzyklus identifizierte und den Osterzyklus aus dem metonischen Zyklus und dem Sonnenzyklus erklärte.

Im mittelalterlichen Westeuropa konnte man sich die oben genannten Daten des Ostervollmonds (14. Nisan) mit Hilfe eines 19-zeiligen alliterativen Gedichts in Latein merken:

Nonae Aprilis	norunt quinos	V
octonae kalendae	assim depromunt.	I
Idus Aprilis	etiam sexis,	VI
nonae quaternae	namque dipondio.	II
Item undene	ambiunt quinos,	V
quatuor idus	capiunt ternos.	III
Ternas kalendas	titulant seni,	VI
quatuor dene	cubant in quadris.	IIII
Septenas idus	septem eligunt,	VII
senae kalendae	sortiunt ternos,	III
denis septenis	donant assim.	I
Pridie nonas	porro quaternis,	IIII
nonae kalendae	notantur septenis.	VII
Pridie idus	panditur quinis,	V
kalendas Aprilis	exprimunt unus.	I
Duodene namque	docte quaternis,	IIII
speciem quintam	speramus duobus.	II
Quaternae kalendae	quinque coniciunt,	V
quindene constant	tribus adeptis.	III

Die erste Halbzeile jeder Zeile gibt das Datum des österlichen Vollmonds aus der obigen Tabelle für jedes Jahr des 19-jährigen Zyklus an. In der zweiten Halbzeile ist das reguläre Ferial oder die Wochentagsverschiebung des Tages des österlichen Vollmonds dieses Jahres aus dem Gleichzeitigen oder dem Wochentag des 24. März angegeben:xlvii Das reguläre Ferial wird in der dritten Spalte in römischen Ziffern wiederholt.

„Paradoxe“ OsterdatenEdit

Aufgrund der Diskrepanzen zwischen den Annäherungen der computistischen Berechnungen des Zeitpunkts des mittleren Frühlingsäquinoktiums und der Mondphasen und den wahren, nach astronomischen Prinzipien berechneten Werten ergeben sich gelegentlich Unterschiede zwischen dem Osterdatum nach computistischer Berechnung und dem hypothetischen Osterdatum, das nach astronomischen Methoden unter Anwendung der den Kirchenvätern zugeschriebenen Prinzipien berechnet wurde. Diese Diskrepanzen werden als „paradoxe“ Osterdaten bezeichnet. In seinem Kalendarium von 1474 berechnete Regiomontanus den genauen Zeitpunkt aller Konjunktionen von Sonne und Mond für den Längengrad von Nürnberg nach den Alfonsinischen Tabellen für den Zeitraum von 1475 bis 1531. In seiner Arbeit listete er 30 Fälle auf, in denen das Osterdatum des julianischen computus nicht mit dem nach dem astronomischen Neumond berechneten Osterdatum übereinstimmte. In achtzehn Fällen wich das Datum um eine Woche, in sieben Fällen um 35 Tage und in fünf Fällen um 28 Tage ab.

Ludwig Lange untersuchte und klassifizierte verschiedene Arten von paradoxen Osterdaten unter Verwendung des Gregorianischen computus. In Fällen, in denen der erste Frühlingsvollmond nach astronomischer Berechnung auf einen Sonntag fällt und der Computus denselben Sonntag als Ostern angibt, findet das gefeierte Ostern eine Woche früher statt als das hypothetische „astronomisch“ korrekte Ostern. Lange nannte diesen Fall ein negatives wöchentliches (hebdomadales) Paraodoxon (H-Paradoxon). Wenn die astronomische Berechnung einen Samstag für den ersten Frühlingsvollmond ergibt und Ostern nicht am unmittelbar folgenden Sonntag, sondern eine Woche später gefeiert wird, wird Ostern nach dem computus eine Woche zu spät im Vergleich zum astronomischen Ergebnis gefeiert. Er stufte solche Fälle als positives wöchentliches (hebdomadales) Paradoxon (H+ Paradoxon) ein. Noch größer sind die Diskrepanzen, wenn es eine Differenz zwischen dem Frühlingspunkt nach der astronomischen Theorie und der Annäherung des Computus gibt. Wenn der astronomische Äquinoktialvollmond vor dem computistischen Äquinoktialvollmond liegt, wird Ostern vier oder sogar fünf Wochen zu spät gefeiert. Solche Fälle nennt man nach Lange ein positives Äquinoktialparadoxon (A+-Paradoxon). Im umgekehrten Fall, wenn der computistische äquinoktiale Vollmond einen Monat vor dem astronomischen äquinoktialen Vollmond fällt, wird Ostern vier oder fünf Wochen zu früh gefeiert. In solchen Fällen spricht man von einem negativen Äquinoktialparadoxon (A-Paradoxon). Äquinoktialparadoxien gelten immer global für die ganze Erde, da die Reihenfolge von Tagundnachtgleiche und Vollmond nicht von der geografischen Länge abhängt. Im Gegensatz dazu sind Wochenparadoxa in den meisten Fällen lokal und gelten nur für einen Teil der Erde, weil der Tageswechsel zwischen Samstag und Sonntag von der geographischen Länge abhängt. Die rechnerischen Berechnungen beruhen auf astronomischen Tabellen, die für den Längengrad von Venedig gelten, den Lange als gregorianischen Längengrad bezeichnet.

Im 21. und 22. Jahrhundert treten negative wöchentliche paradoxe Osterdaten in den Jahren 2049, 2076, 2106, 2119 (global), 2133, 2147, 2150, 2170 und 2174 auf; positive wöchentliche paradoxe Daten treten in den Jahren 2045, 2069, 2089 und 2096 auf; positive paradoxe Äquinoktialdaten in den Jahren 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 und 2190. In den Jahren 2076 und 2133 treten „doppelte Paradoxa (positives Äquinoktialdatum und negatives wöchentliches Datum) auf. Negative Äquinoktialparadoxa sind äußerst selten; sie treten bis zum Jahr 4000 nur zweimal auf, nämlich 2353, als Ostern fünf Wochen zu früh ist, und 2372, als Ostern vier Wochen zu früh ist.