Wenn A und B zwei konstante Ausdrücke sind, schreiben wir A = B, wenn sie gleich sind, und A ≠ B, wenn sie nicht gleich sind. Zum Beispiel ist für eine beliebige Zahl oder einen beliebigen Ausdruck N, N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². Andererseits: 1 ≠ 2,5. Mit Ausdrücken wie N = N kann man nicht viel falsch machen, denn sie sagen nicht viel aus. Das Gleichheitszeichen „=“, das „gleich“ ausgesprochen wird, hat andere, fruchtbarere Verwendungen.
„=“ wird verwendet, um eine Aussage zu treffen
Das Gleichheitszeichen „=“ wird verwendet, um eine Aussage zu treffen, dass zwei unterschiedlich aussehende Ausdrücke tatsächlich gleich sind. Zum Beispiel sieht 1 + 1 nicht wie 2 aus, aber die Definitionen der Symbole 1, 2, + und die Regeln der Arithmetik sagen uns, dass 1 + 1 = 2 ist. Gleich zu sein bedeutet also nicht unbedingt, gleich zu sein.
Auch die Aussage, die das Symbol „=“ beinhaltet, kann richtig sein oder auch nicht. Während 1 + 1 = 2 eine korrekte Aussage ist, ist 1 + 2 = 4 nicht korrekt. Das Gleiche gilt für das Symbol „≠“, nicht gleich. Aber die Bedeutung ist genau das Gegenteil von „=“. Während 1 + 2 ≠ 4 eine korrekte Aussage ist, ist 1 + 1 ≠ 2 nicht korrekt.
„=“ wird verwendet, um ein Problem zu stellen
Wenn die Ausdrücke A und B nicht konstant sind, d.h. wenn sie Variablen enthalten, dann bedeutet A = B meistens eine Aufforderung, die Werte der Variablen zu finden, für die A gleich B wird. z.B. kann x + 1 = 4, je nachdem, wofür x steht, korrekt sein oder nicht. Die Aufforderung, x + 1 = 4 zu lösen, bedeutet, den Wert (oder die Werte) von x zu finden, für den x + 1 gleich 4 ist. In diesem speziellen Fall gibt es nur einen Wert von x, der die Aufgabe erfüllt, nämlich x = 3.
Die Terminologie variiert. Mir wurde beigebracht, dass die Aussage A = B, bei der A und B konstante, feste Ausdrücke sind, als Gleichheit oder Identität bezeichnet wird. Wenn sie Variablen enthalten, nennt man A = B eine Gleichung. Heutzutage wird der Begriff „Gleichung“ in beiden Fällen verwendet, wobei erstere als konstante Gleichung bezeichnet wird.
Der Grund für die spätere Verwendung liegt meiner Meinung nach darin, dass in der Algebra ein konstanter Ausdruck variablenähnliche Symbole enthalten kann, um allgemeine Zahlen zu bezeichnen. Zum Beispiel ist (x + y)² = x² + 2xy + y² eine Aussage, die nicht gelöst werden soll. Sie besagt einfach, dass die beiden Ausdrücke (x + y)² auf der linken Seite und x² + 2xy + y² auf der rechten Seite gleich sind, unabhängig von den spezifischen Werten von x und y. Diese Verwendung ist ähnlich wie bei der Aussage physikalischer Gesetze. Zum Beispiel in Einsteins Gesetz E = mc² sind E und m Variablen, während c konstant ist.
„=“ wird verwendet, um ein Objekt zu definieren oder zu benennen
In der Algebra kann man eine Funktion f(x) = x² + 2x³ definieren. Dies ist weder eine Aussage, noch eine Aufforderung, eine Gleichung zu lösen. Es handelt sich um eine einfache Definition. Danach kann man von den Potenzen der Funktion f, ihrer Ableitung f‘ oder von ihren Iteraten f(f(x)), f(f(f(x))), …
In der Geometrie kann man als weiteres Beispiel den Punkt A = (2, 3) und einen weiteren Punkt B = (-2, 5) einführen. Der Mittelpunkt M = (A + B) /2 = (0, 4) liegt auf der y-Achse.
Vergleichssymbole „<“ und „>“
Einige mathematische Objekte können verglichen werden, z.B. von zwei verschiedenen ganzen Zahlen ist eine größer, die andere kleiner. Andere mathematische Objekte, zum Beispiel komplexe Zahlen, können nicht verglichen werden, wenn die Vergleichsoperation bestimmte Eigenschaften haben soll.
Das Symbol „>“ bedeutet „größer als“; das Symbol „<“ bedeutet „kleiner als“. Zum Beispiel: 2 < 5, 5 > 2. Um sich zu merken, welches Symbol welches ist, muss man beachten, dass beide Symbole eine spitze Seite haben, die nur ein Ende hat, und eine geteilte Seite mit zwei Enden. Die Tatsache, dass 1 kleiner als 2 ist, wird als 1 < 2 ausgedrückt, was dasselbe ist wie 2 > 1, d.h., dass 2 größer als 1 ist. Das spitze Ende mit einem einzigen Endpunkt zeigt auf den kleineren der beiden Ausdrücke.
Wie das Gleichheitssymbol können auch die Vergleichssymbole verwendet werden, um eine Aussage zu machen oder ein Problem zu stellen. 2 < 5 ist eine korrekte Aussage. 5 < 2 ist eine falsche Aussage. x + 2 < 5 kann richtig sein oder nicht, je nach dem Wert von x. Sie können aufgefordert werden, die Werte von x zu finden, für die x + 2 < 5. In diesem Fall erhält man durch Addition von -2 auf beiden Seiten der Ungleichung x < 3, was die Lösung von x + 2 < 5 ist.
In der Algebra kann eine Aussage allgemeine Variablen enthalten, wie die AM-GM-Ungleichung: (x + y) / 2 ≥ √xy, die für alle positiven x und y wahr ist.
Das Symbol „≤“ bedeutet übrigens „kleiner als oder gleich“. (x + y) / 2 ≥ √xy wird zur Gleichheit für x = y. Zum Beispiel, wenn x = y = 2, dann ist (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
Auch √xy = √2-2 = 2. Wenn x ≠ y, wird die Ungleichung „streng“: (x + y) / 2 > √xy.
Die Ungleichung -x² > x² hat keine Lösungen unter ganzen Zahlen. Die Ungleichung -x² ≥ x² hat eine Lösung: x = 0.
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