Zeitabhängige Resonanztheorie

Eine wichtige Klasse von Resonanzproblemen umfasst die Untersuchung von Störungen von Systemen mit eingebetteten Eigenwerten in ihrem kontinuierlichen Spektrum. Probleme mit dieser mathematischen Struktur treten bei der Untersuchung vieler physikalischer Systeme auf, z.B. bei der Kopplung eines Atoms oder Moleküls an ein Photonenstrahlungsfeld und bei Auger-Zuständen des Heliumatoms, sowie in der Spektralgeometrie und Zahlentheorie. Wir stellen eine dynamische (zeitabhängige) Theorie solcher Quantenresonanzen vor. Die Schlüsselhypothesen sind (i) eine Resonanzbedingung, die allgemein gilt (Nichtverschwinden der goldenen Fermi-Regel), und (ii) lokale Zerfallsschätzungen für die ungestörte Dynamik mit Anfangsdaten, die aus Kontinuumsmoden bestehen, die mit einem Intervall verbunden sind, das den eingebetteten Eigenwert des ungestörten Hamiltonianers enthält. Es wird keine Annahme der Dilatationsanalytizität des Potentials gemacht. Unsere Methode zeigt explizit, dass die Energie von der diskreten Resonanzmode zu den Kontinuumsmoden aufgrund ihrer Kopplung übergeht. Der Ansatz ist auch auf nicht-autonome lineare Probleme und auf nicht-lineare Probleme anwendbar. Wir leiten das Zeitverhalten der Resonanzzustände für mittlere und lange Zeiten ab. Es werden Beispiele und Anwendungen vorgestellt. Darunter ist ein Beweis für die Instabilität eines eingebetteten Eigenwertes bei einer Schwellenenergie unter geeigneten Hypothesen.