Computus

Gregoriaaninen kalenteriEdit

Koska computuksen uudistaminen oli ensisijainen motiivi gregoriaanisen kalenterin käyttöönotolle vuonna 1582, kalenterin rinnalla otettiin käyttöön vastaava computusmenetelmä. Yleisen työmenetelmän esitti Clavius Kuudessa kaanonissa (1582), ja täydellinen selitys seurasi hänen Explicatio-julkaisussaan (1603).

Pääsiäissunnuntai on pääsiäisen täysikuun päivämäärää seuraava sunnuntai. Pääsiäisen täysikuun päivämäärä on kirkollinen täysikuun päivämäärä 21. maaliskuuta tai sen jälkeen. Gregoriaanisen menetelmän mukaan pääsiäisen täysikuun päivämäärät saadaan määrittämällä kunkin vuoden epäkohta. Epaktin arvo voi olla * (0 tai 30) ja 29 päivän välillä. Teoriassa kuukuukausi (epakti 0) alkaa uuden kuun aikaan, ja kuunsirppi näkyy ensimmäisen kerran kuukauden ensimmäisenä päivänä (epakti 1). Kuukuukauden 14. päivää pidetään täysikuun päivänä.

Historiallisesti vuoden pääsiäisen täysikuun päivämäärä löydettiin sen järjestysnumerosta metonisessa syklissä, jota kutsutaan kultaiseksi luvuksi, joka sykli toistaa kuun vaiheen 1. tammikuuta joka 19. vuosi. Tästä menetelmästä luovuttiin gregoriaanisen uudistuksen yhteydessä, koska taulukkomuotoiset päivämäärät menevät sekaisin todellisuuden kanssa noin kahden vuosisadan jälkeen, mutta epaktimenetelmästä voidaan rakentaa yksinkertaistettu taulukko, joka on voimassa yhdestä kolmeen vuosisataa.

Nykyisen, vuonna 2014 alkaneen metonisen syklin epaktit ovat:

.

.

Ylläoleva taulukko on voimassa vuodesta 1900 vuoteen 2199 saakka. Käyttöesimerkkinä vuoden 2038 kultainen luku on 6 (2038 ÷ 19 = 107 jäännös 5, jolloin +1 = 6). Taulukon perusteella kultaisen luvun 6 pääsiäispäivän täysikuu on 18. huhtikuuta. Viikkotaulukon mukaan 18. huhtikuuta on sunnuntai. Pääsiäissunnuntai on seuraava sunnuntai, 25. huhtikuuta.

Epakkoja käytetään uuden kuun päivämäärien löytämiseen seuraavalla tavalla: Kirjoita taulukkoon kaikki vuoden 365 päivää (karkauspäivää ei oteta huomioon). Merkitse sitten kaikki päivämäärät roomalaisella numerolla, joka laskee alaspäin ”*” (0 tai 30), ”xxix” (29), ”i” (1), alkaen 1. tammikuuta, ja toista tämä vuoden loppuun asti. Joka toisessa tällaisessa jaksossa lasketaan kuitenkin vain 29 päivää ja merkitään päivämäärä xxv:llä (25) ja xxiv:llä (24). Käsittele siis 13. jaksoa (11 viimeistä päivää) pitkänä ja anna peräkkäisille päivämäärille (26. ja 27. joulukuuta) merkinnät ”xxv” ja ”xxiv”. Lopuksi lisätään lisäksi merkintä ”25” päivämääriin, joissa on ”xxv” 30 päivän jaksoissa; mutta 29 päivän jaksoissa (joissa on ”xxiv” yhdessä ”xxv” kanssa) lisätään merkintä ”25” päivämäärään, jossa on ”xxvi”. Kuukausien pituudet ja epaktajaksojen pituudet jakautuvat siten, että jokainen siviilikalenterikuukausi alkaa ja päättyy samalla epaktaattimerkinnällä lukuun ottamatta helmikuuta sekä heinä- ja elokuun epaktaattimerkintöjä ”xxv” ja ”25”. Tätä taulukkoa kutsutaan kalenteriksi. Minkä tahansa vuoden kirkolliset uuden kuun päivämäärät ovat ne päivämäärät, jolloin kyseisen vuoden epakta on merkitty. Jos vuoden epakta on esimerkiksi 27, on kirkollinen uusi kuu jokaisena kyseisen vuoden päivämääränä, jolla on epakta-merkintä ”xxvii” (27).

Kirjoita myös kaikki taulukon päivämäärät kirjaimilla ”A” – ”G”, alkaen 1.1., ja toista vuoden loppuun asti. Jos esimerkiksi vuoden ensimmäinen sunnuntai on 5. tammikuuta, jolla on kirjain ”E”, niin jokainen päivämäärä, jolla on kirjain ”E”, on kyseisen vuoden sunnuntai. Silloin E-kirjainta kutsutaan kyseisen vuoden hallitsevaksi kirjaimeksi (latinan sanasta dies domini, Herran päivä). Dominical-kirjain siirtyy joka vuosi yhden sijan taaksepäin. Helmikuun 24. päivän jälkeisinä karkausvuosina sunnuntait osuvat kuitenkin syklin edelliselle kirjaimelle, joten karkausvuosina on kaksi dominoivaa kirjainta: ensimmäinen ennen karkauspäivää ja toinen karkauspäivän jälkeen.

Käytännössä pääsiäisen laskemista varten tätä ei tarvitse tehdä vuoden kaikkien 365 päivän osalta. Epäkohtien osalta maaliskuu tulee täsmälleen samaksi kuin tammikuu, joten tammi- tai helmikuuta ei tarvitse laskea. Jotta ei myöskään tarvitsisi laskea tammi- ja helmikuun dominikaanisia kirjaimia, aloitetaan 1. maaliskuuta D:llä. Tarvitset epaktit vain 8. maaliskuuta ja 5. huhtikuuta välisenä aikana. Näin saadaan seuraava taulukko:

Ruotsista peräisin oleva taulukko pääsiäispäivän 1140-1671 laskemiseksi juliaanisen kalenterin mukaan. Huomaa riimukirjoitus.

Kronologinen kaavio pääsiäispäivän ajankohdasta 600 vuoden ajalta gregoriaanisen kalenterin uudistuksesta vuoteen 2200 (Camille Flammarion, 1907)

Esimerkki: Jos epakti on 27 (xxvii), kirkollinen uusi kuu osuu jokaiseen xxvii-merkillä merkittyyn päivämäärään. Kirkollinen täysikuu osuu 13 päivää myöhemmin. Yllä olevasta taulukosta tämä antaa uuden kuun 4.3. ja 3.4. ja siten täysikuun 17.3. ja 16.4.

Tällöin pääsiäispäivä on ensimmäinen sunnuntai ensimmäisen kirkollisen täysikuun jälkeen 21.3. tai sen jälkeen. Tässä määritelmässä käytetään sanaa ”21. maaliskuuta tai sen jälkeen”, jotta vältetään sanan ”sen jälkeen” historiallisen merkityksen epäselvyys. Nykykielessä tämä ilmaisu tarkoittaa yksinkertaisesti ”20. maaliskuuta jälkeen”. Määritelmä ”21. maaliskuuta tai sen jälkeen” lyhennetään julkaistuissa ja internetissä olevissa artikkeleissa usein virheellisesti muotoon ”21. maaliskuuta jälkeen”, mikä johtaa virheellisiin pääsiäispäivämääriin.

Esimerkissä tämä pääsiäisen täysikuu on 16. huhtikuuta. Jos hallitseva kirjain on E, pääsiäispäivä on 20. huhtikuuta.

Merkintää ”25” (toisin kuin ”xxv”) käytetään seuraavasti: Metonisen syklin sisällä 11 vuoden välein olevilla vuosiluvuilla on epäkohdat, jotka eroavat toisistaan yhden päivän verran. Kuukausi, joka alkaa päivämäärällä, jonka merkinnät xxiv ja xxv vaikuttavat yhdessä, on joko 29 tai 30 päivää. Jos epaktit 24 ja 25 tapahtuvat molemmat yhden metonisen syklin sisällä, uusien kuiden (ja täysikuun) päivämäärät osuvat samoihin päivämääriin näinä kahtena vuonna. Tämä on mahdollista todellisen kuun osalta, mutta se on epäeleganttia kaavamaisessa kuukalenterissa; päivämäärien pitäisi toistua vasta 19 vuoden kuluttua. Tämän välttämiseksi vuosina, joiden epaktit ovat 25 ja joiden kultainen luku on suurempi kuin 11, laskettu uusi kuu osuu päivämäärään, jonka merkintä on 25 eikä xxv. Jos merkinnät 25 ja xxv ovat yhdessä, ongelmaa ei ole, koska ne ovat samat. Tämä ei siirrä ongelmaa pariin ”25” ja ”xxvi”, koska aikaisintaan epakuu 26 voisi esiintyä vuonna 23 syklissä, joka kestää vain 19 vuotta: välissä on saltus lunae, joka saa uuden kuun osumaan eri päivämääriin.

Gregoriaanisessa kalenterissa on korjaus trooppiseen vuoteen jättämällä pois kolme karkauspäivää 400 vuodessa (aina vuosisatavuonna). Tämä on korjaus trooppisen vuoden pituuteen, mutta sillä ei pitäisi olla vaikutusta metoniseen suhteeseen vuosien ja kuun välillä. Tämän vuoksi epakta on kompensoitu (osittain – katso epakta) vähentämällä yksi päivä näissä vuosisatavuosissa. Tämä on niin sanottu aurinkokorjaus tai ”aurinkoyhtälö” (”yhtälöä” käytetään sen keskiaikaisessa merkityksessä ”korjaus”).

Mutta 19 korjaamatonta juliaanista vuotta ovat hieman pidempiä kuin 235 kuunia. Ero kumuloituu yhdeksi päiväksi noin 310 vuodessa. Siksi gregoriaanisessa kalenterissa epäkohta korjataan lisäämällä 1 kahdeksan kertaa 2500 (gregoriaanisen) vuoden aikana, aina sadan vuoden aikana: tämä on niin sanottu kuunkorjaus (historiallisesti ”kuun yhtälö”). Ensimmäistä korjausta sovellettiin vuonna 1800, seuraavaa vuonna 2100, ja sitä sovelletaan 300 vuoden välein lukuun ottamatta 400 vuoden väliä vuosien 3900 ja 4300 välillä, jolloin alkaa uusi sykli.

Aurinko- ja kuukorjaukset toimivat vastakkaisiin suuntiin, ja joissakin vuosisatavuosissa (esim. 1800 ja 2100) ne kumoavat toisensa. Tuloksena on, että gregoriaaninen kuukalenteri käyttää epaktitaulukkoa, joka on voimassa 100-300 vuoden jakson ajan. Edellä mainittu epaktastaulukko on voimassa ajanjaksolla 1900-2199.

DetailsEdit

Tämässä laskutavassa on useita hienouksia:

Joka toisessa kuukautena on vain 29 päivää, joten yhdelle päivälle on määriteltävä kaksi (30:stä) epaktimerkkiä. Syy siihen, että epaktimerkintä ”xxv/25” liikkuu jonkin muun epaktimerkinnän sijaan, näyttää olevan seuraava: Dionysiuksen mukaan (hänen johdantokirjeessään Petroniukselle) Nikeneuksen kirkolliskokous vahvisti Eusebiuksen valtuuttamana, että kirkollisen kuuvuoden ensimmäisen kuukauden (pääsiäiskuukauden) tulisi alkaa 8. maaliskuuta ja 5. huhtikuuta välisenä aikana ja että 14. päivän tulisi sijoittua 21. maaliskuuta ja 18. huhtikuuta väliseksi ajaksi, mikä tarkoittaa (vain) 29 päivän pituista ajanjaksoa. Maaliskuun 7. päivän uuden kuun, jonka epaktimerkintä on ”xxiv”, 14. päivä (täysikuu) on 20. maaliskuuta, mikä on liian aikaisin (ei 20. maaliskuuta jälkeen). Jos 7. maaliskuuta alkavalla kuukautena olisi 30 päivää, vuosien, joiden epaktimerkintä on ”xxiv”, uuden kuun pääsiäiskuu olisi 6. huhtikuuta, mikä on liian myöhään: Täysikuu osuisi 19. huhtikuuta, ja pääsiäinen voisi olla vasta 26. huhtikuuta. Juliaanisessa kalenterissa pääsiäisen myöhäisin ajankohta oli 25. huhtikuuta, ja gregoriaaninen uudistus säilytti tämän rajan. Näin ollen pääsiäisen täysikuun täytyy osua viimeistään 18. huhtikuuta ja uuden kuun 5. huhtikuuta, jolla on epaktimerkintä ”xxv”. Huhtikuun 5. päivänä on siis oltava kaksi epaktimerkintää ”xxiv” ja ”xxv”. Silloin epaktia ”xxv” on kohdeltava eri tavalla, kuten edellä olevassa kappaleessa selitetään.

Tämän seurauksena 19. huhtikuuta on gregoriaanisen kalenterin mukaan se päivä, johon pääsiäinen useimmiten osuu: Noin 3,87 %:ssa vuosista. Maaliskuun 22. päivä on harvinaisin: 0,48 %.

Pääsiäispäivän jakautuminen koko 5 700 000 vuoden syklille

Kuukalenterin ja aurinkokalenterin päivämäärien välinen suhde on tehty riippumattomaksi aurinkovuoden karkauspäiväjärjestelmästä. Periaatteessa gregoriaaninen kalenteri käyttää edelleen juliaanista kalenteria, jossa karkauspäivä on joka neljäs vuosi, joten 19 vuotta kestävässä metonisessa syklissä on 6 940 tai 6 939 päivää, joissa on viisi tai neljä karkauspäivää. Kuunkierto laskee vain 19 × 354 + 19 × 11 = 6 935 päivää. Kun karkauspäivää ei merkitä ja lasketa epaktinumerolla, vaan seuraava uusi kuu osuu samalle kalenteripäivälle kuin ilman karkauspäivää, nykyinen kuunlukukausi pitenee päivällä, ja 235 kuunlukukautta kattaa yhtä monta päivää kuin 19 vuotta. Näin ollen kalenterin ja kuun synkronoinnin taakka (keskipitkän aikavälin tarkkuus) siirtyy aurinkokalenterille, joka voi käyttää mitä tahansa sopivaa interkalaatiojärjestelmää; kaikki tämä olettaen, että 19 aurinkovuotta = 235 kuunvaihtoa (pitkän aikavälin epätarkkuus). Tästä seuraa, että kuun laskettu ikä voi poiketa päivällä ja että karkauspäivän sisältävät kuukautiset voivat olla 31 päivän pituisia, mitä ei koskaan tapahtuisi, jos seurattaisiin todellista kuuta (lyhyen aikavälin epätarkkuus). Tämä on hinta siitä, että kalenteri sovitetaan säännöllisesti aurinkokalenteriin.

Sen näkökulmasta, joka saattaa haluta käyttää gregoriaanista pääsiäiskalenteria koko vuoden kalenterina, gregoriaanisessa kuukalenterissa on joitakin puutteita (vaikka niillä ei ole vaikutusta pääsiäiskuukauteen ja pääsiäisen päivämäärään):

1. Esiintyy 31 (ja toisinaan 28) päivän pituisia kuuntelukausia.
2. Jos vuonna, jonka kultainen luku on 19, sattuu olemaan epakuu 19, niin viimeinen kirkollinen uusikuu osuu 2. joulukuuta; seuraava olisi ajankohtainen 1. tammikuuta. Uuden vuoden alussa saltus lunae lisää kuitenkin epaktia vielä yhdellä yksiköllä, ja uuden kuun olisi pitänyt tapahtua edellisenä päivänä. Uusi kuu jää siis väliin. Missale Romanumin kalenterissa tämä on otettu huomioon antamalla tällaisen vuoden joulukuun 31. päivälle epaktimerkintä ”19” merkinnän ”xx” sijasta, jolloin kyseinen päivämäärä on uusi kuu. Näin tapahtui joka 19. vuosi, kun alkuperäinen gregoriaaninen epaktitaulukko oli voimassa (viimeisen kerran vuonna 1690), ja seuraavan kerran se tapahtuu vuonna 8511.
3. Jos vuoden epaktitaulu on 20, kirkollinen uusi kuu osuu 31. joulukuuta. Jos kyseinen vuosi osuu ennen vuosisatavuotta, aurinkokorjaus pienentää uuden vuoden epaktia useimmiten yhdellä: Näin saatu epakti ”*” tarkoittaa, että toinen kirkollinen uusikuu lasketaan 1. tammikuuta. Muodollisesti on siis kulunut yhden päivän mittainen kuunvaihde. Seuraavaksi näin tapahtuu vuonna 4199-4200.
4. Muita rajatapauksia esiintyy (paljon) myöhemmin, ja jos sääntöjä noudatetaan tiukasti eikä näitä tapauksia käsitellä erikseen, ne tuottavat peräkkäisiä uuden kuun päivämääriä, jotka ovat 1, 28, 59 tai (hyvin harvoin) 58 päivän päässä toisistaan.

Huolellinen analyysi osoittaa, että tavan kautta, jolla niitä käytetään ja korjataan gregoriaanisessa kalenterissa, epaktit ovat itse asiassa kuun murto-osia (1/30, tunnetaan myös nimellä tithi) eivätkä kokonaisia päiviä. Ks. keskustelu epaktista.

Aurinko- ja kuukorjaukset toistuvat 4 × 25 = 100 vuosisadan jälkeen. Tuona aikana epakti on muuttunut yhteensä -1 × 3/4 × 100 + 1 × 8/25 × 100 = -43 ≡ 17 mod 30. Tämä on 30 mahdollisen epaktin alkuluku, joten kestää 100 × 30 = 3 000 vuosisataa ennen kuin epaktit toistuvat; ja 3 000 × 19 = 57 000 vuosisataa ennen kuin epaktit toistuvat samalla kultaisella luvulla. Tässä jaksossa on 5 700 000/19 × 235 – 43/30 × 57 000/100 = 70 499 183 kuuta. Gregoriaaniset pääsiäispäivät toistuvat siis täsmälleen samassa järjestyksessä vasta 5 700 000 vuoden, 70 499 183 kuun tai 2 081 882 250 päivän kuluttua; keskimääräinen kuunpituus on tällöin 29,53058690 päivää. Kalenteria on kuitenkin jo muutamien vuosituhansien jälkeen täytynyt mukauttaa, koska trooppisen vuoden, synodisen kuukauden ja päivän pituus on muuttunut.

Kaaviot läntisen (katolisen) ja itäisen (ortodoksisen) pääsiäissunnuntain päivämääristä verrattuna maaliskuun päiväntasaukseen ja täysikuuhun vuodesta 1950 vuoteen 2050 gregoriaanisen kalenterin mukaan

Tämä herättää kysymyksen siitä, miksi gregoriaanisessa kuukalenterissa on erilliset auringon- ja kuunkorjaukset, jotka toisinaan kumoavat toisensa. Liliuksen alkuperäinen työ ei ole säilynyt, mutta hänen ehdotuksensa on kuvattu vuonna 1577 kiertäneessä Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium -teoksessa, jossa selitetään, että hänen keksimänsä korjausjärjestelmän oli määrä olla täysin joustava työkalu tulevien kalenteriuudistajien käsissä, koska aurinko- ja kuukalenteria voitiin vastedes korjata ilman keskinäisiä häiriöitä. Esimerkkinä tästä joustavuudesta oli Kopernikuksen teorioista johdettu vaihtoehtoinen interkalaatiojakso ja sitä vastaavat epaktikorjaukset.

”Aurinkokorjaukset” kumoavat suunnilleen aurinkokalenterin karkauspäiviin tehtyjen gregoriaanisten muutosten vaikutuksen kuukalenteriin: ne palauttavat epaktisyklin (osittain) takaisin alkuperäiseen metonilaiseen suhdelukuun juliaanisen vuoden ja kuukuukauden välillä. Auringon ja kuun välinen luontainen epäsuhta tässä 19 vuoden perussyklissä korjataan sitten kolmen tai neljän vuosisadan välein epaktien ”kuukorjauksella”. Epaktikorjaukset tapahtuvat kuitenkin gregoriaanisten vuosisatojen alussa, eivät juliaanisten vuosisatojen alussa, ja siksi alkuperäistä juliaanista metonista sykliä ei täysin palauteta.

Nettona 4 × 8 – 3 × 25 = 43 epaktivähennystä voitaisiin jakaa tasaisesti 10 000 vuodelle (kuten esimerkiksi tohtori Heiner Lichtenberg on ehdottanut)., jos korjaukset yhdistetään, niin silloin myös kahden syklin epätarkkuudet lasketaan yhteen, eikä niitä voida korjata erikseen.

(Keskimääräisten aurinko)päivien ja kuunpäivien suhdeluvut muuttuvat sekä kiertoratojen luontaisten pitkäaikaisten vaihteluiden vuoksi että siksi, että maapallon pyöriminen hidastuu vuorovesien aiheuttaman hidastuvuuden vuoksi, joten gregoriaaniset parametrit vanhenevat yhä enemmän.

Tämä vaikuttaa kyllä päiväntasauksen päivämäärään, mutta sattuu niin, että pohjoisen (pohjoisen pallonpuoliskon kevät) päiväntasausten väli on ollut historiallisena aikana melko vakaa, varsinkin jos sitä mitataan keskimääräisenä aurinkoaikana (ks. esim.)

Myös gregoriaanisella menetelmällä laskettujen kirkollisten täysikuukausien ajautumiseen verrattuna todellisiin täysikuukausiin vaikuttaa vähemmän kuin voisi olettaa, koska vuorokauden pituuden lisääntyminen kompensoituu melkein täsmälleen kuukauden pituuden lisääntymisellä, koska vuorovesijarrutus siirtää Maan pyörimisestä syntyvää kulmamomenttia Kuun kiertoradan kulmamomenttiin.

Babylonialaisten noin 4. vuosisadalla eaa. määrittelemä ptolemaiolainen arvo keskimääräisen synodisen kuukauden pituudelle on 29 päivää 12 h 44 min 3+1/3 s (ks. Kidinnu); nykyinen arvo on 0,46 s lyhyempi (ks. Uusikuu). Samalla historiallisella ajanjaksolla keskimääräisen trooppisen vuoden pituus on lyhentynyt noin 10 s (kaikki arvot tarkoittavat aurinkoaikaa).

British Calendar Act and Book of Common PrayerEdit

Taulukkomenetelmiä käsittelevän osion yllä olevassa osassa kuvataan historiallisia perusteluja ja menetelmiä, joiden avulla katolinen kirkko päätti pääsiäissunnuntain nykyisistä päivämääristä 1500-luvun lopulla. Britanniassa, jossa oli tuolloin vielä käytössä juliaaninen kalenteri, pääsiäissunnuntai määriteltiin vuodesta 1662 vuoteen 1752 (aiemman käytännön mukaisesti) anglikaanisen rukouskirjan (säädetty Act of Uniformity 1662) yksinkertaisella päivämäärien taulukolla. Taulukko indeksoitiin suoraan kultaisella numerolla ja sunnuntain kirjaimella, jotka (kirjan pääsiäisosiossa) oletettiin jo tunnetuiksi.

Britannian imperiumin ja siirtomaiden osalta pääsiäissunnuntain päivämäärän uusi määrittely määriteltiin niin sanotulla Calendar (New Style) Act 1750 -lailla liitteineen. Menetelmä valittiin, jotta saataisiin päivämäärät, jotka sopivat muualla jo käytössä olleen gregoriaanisen säännön kanssa. Laki edellytti, että se sisällytettiin yhteiseen rukouskirjaan (Book of Common Prayer), ja siksi se on yleinen anglikaaninen sääntö. Alkuperäinen laki on nähtävissä British Statutes at Large -julkaisussa vuodelta 1765. Lain liitteessä on määritelmä: ”Pääsiäispäivä (josta loput riippuvat) on aina ensimmäinen sunnuntai täysikuun jälkeen, joka sattuu maaliskuun kahdentenakymmenentenä ensimmäisenä päivänä tai sitä seuraavana päivänä. Ja jos täysikuu osuu sunnuntaille, pääsiäispäivä on sitä seuraava sunnuntai.”. Liitteessä käytetään sittemmin termejä ”pääsiäisen täysikuu” ja ”kirkollinen täysikuu”, mikä tekee selväksi, että ne lähentelevät todellista täysikuuta.

Menetelmä eroaa täysin edellä kuvatusta gregoriaanisen kalenterin menetelmästä. Yleiselle vuodelle määritetään ensin kultainen numero, sitten käytetään kolmea taulukkoa sunnuntain kirjaimen, ”salakirjoituksen” ja pääsiäisen täysikuun päivämäärän määrittämiseksi, josta seuraa pääsiäissunnuntain päivämäärä. Epaktia ei nimenomaisesti mainita. Yksinkertaisempia taulukoita voidaan käyttää rajoitetuilla ajanjaksoilla (kuten 1900-2199), joiden aikana cypher (joka edustaa auringon ja kuun korjausten vaikutusta) ei muutu. Claviuksen yksityiskohtia käytettiin menetelmän rakentamisessa, mutta niillä ei ole mitään merkitystä sen myöhemmässä käytössä.

J. R. Stockton osoittaa johdattaneensa tehokkaan tietokonealgoritmin, joka on jäljitettävissä rukouskirjan ja kalenterilain taulukoihin (olettaen, että kuvaus taulukoiden käytöstä on käsillä), ja todentaa sen prosessit laskemalla vastaavat taulukot.

Juliaaninen kalenteriEdit

Pääsiäispäivän jakauma useimmissa itäisissä kirkoissa 1900-2099 vs. läntinen pääsiäispäivän jakauma

Läntisen kirkon vakiintunut laskentamenetelmä läntisen kirkon kirkollisen täysikuun ajankohdan laskemiseksi ennen gregoriaanista kalenteriuudistusta, ja jota useimmat itäiset kristityt käyttävät vielä nykyäänkin, käytti 19-vuotisen metonisen syklin korjaamatonta toistoa yhdessä juliaanisen kalenterin kanssa. Mitä tulee edellä käsiteltyyn epaktaattimenetelmään, siinä käytettiin käytännössä yhtä epaktaattitaulukkoa, joka alkoi epaktaatista 0, jota ei koskaan korjattu. Tässä tapauksessa epaktaatti laskettiin 22. maaliskuuta, joka on varhaisin hyväksyttävä pääsiäispäivä. Tämä toistuu 19 vuoden välein, joten pääsiäisen täysikuulle on vain 19 mahdollista päivämäärää 21.3.-18.4. mukaan lukien.

Koska korjauksia ei tehdä kuten gregoriaanisen kalenterin kohdalla, kirkollinen täysikuu poikkeaa todellisesta täysikuusta yli kolme päivää joka vuosituhannes. Se on jo muutamaa päivää myöhemmin. Tämän seurauksena itäiset kirkot viettävät pääsiäistä noin 50 prosenttia ajasta viikkoa myöhemmin kuin läntiset kirkot. (Itäinen pääsiäinen on toisinaan neljä tai viisi viikkoa myöhemmin, koska juliaaninen kalenteri on 13 päivää gregoriaanista jäljessä vuosina 1900-2099, joten gregoriaaninen pääsiäisen täysikuu on joskus ennen juliaanista 21. maaliskuuta.)

Vuoden järjestysnumeroa 19-vuotisessa syklissä kutsutaan sen kultaiseksi luvuksi. Tätä termiä käytettiin ensimmäisen kerran Alexander de Villa Dein komputistisessa runossa Massa Compoti vuonna 1200. Myöhempi kirjuri lisäsi kultaisen luvun taulukoihin, jotka alun perin oli laatinut Abbo of Fleury vuonna 988.

Katolisen kirkon vuonna 1582 antamassa paavin bullassa Inter gravissimas, jolla julistettiin gregoriaaninen kalenteri, esittämä väite, jonka mukaan se palautti ”pääsiäisen viettämisen niiden sääntöjen mukaan, jotka on vahvistettu … suuren Nikean ekumeenisen konsiilin” perustui Dionysius Exiguusin (525) väärään väitteeseen, jonka mukaan ”me määrittelemme pääsiäispäivän päivämäärän … sen ehdotuksen mukaisesti, josta 318 kirkkoisää sopivat Nikean konsiilissa”. Ensimmäinen Nikean kirkolliskokous (325) ei kuitenkaan antanut mitään nimenomaisia sääntöjä tuon päivämäärän määrittämiseksi, vaan kirjoitti vain: ”Kaikkien idässä asuvien veljiemme, jotka aiemmin seurasivat juutalaisten tapaa, on tästä lähtien vietettävä mainittua pyhintä pääsiäisjuhlaa samaan aikaan roomalaisten ja teidän ja kaikkien niiden kanssa, jotka ovat noudattaneet pääsiäisjuhlaa alusta alkaen”. Keskiaikainen computus perustui Aleksandrian computukseen, jonka Aleksandrian kirkko kehitti 4. vuosisadan ensimmäisellä vuosikymmenellä käyttäen Aleksandrian kalenteria. 36 Itä-Rooman valtakunta hyväksyi sen pian vuoden 380 jälkeen sen jälkeen, kun se oli muuttanut computuksen juliaaniseksi kalenteriksi. 48 Rooma hyväksyi sen joskus kuudennen ja yhdeksännen vuosisadan välillä. Brittein saaret hyväksyivät sen kahdeksannella vuosisadalla muutamia luostareita lukuun ottamatta. Ranska (koko Länsi-Eurooppa lukuun ottamatta Skandinaviaa (pakanallinen), Brittein saaria, Iberian niemimaata ja Etelä-Italiaa) hyväksyi sen kahdeksannen vuosisadan viimeisellä neljänneksellä. Viimeinen kelttiläinen luostari, Iona, hyväksyi sen vuonna 716, kun taas viimeinen englantilainen luostari hyväksyi sen vuonna 931. Ennen näitä päivämääriä pääsiäissunnuntain päivämäärät saattoivat poiketa toisistaan muiden menetelmien avulla jopa viisi viikkoa.

Tässä on taulukko pääsiäisen täysikuun päivämääristä kaikille juliaanisille vuosille vuodesta 931 lähtien:

Huhtikuu

Laskentaesimerkki tällä taulukolla:

Kultainen luku 1573 on 16 (1573 + 1 = 1574; 1574 ÷ 19 = 82 jäännös 16). Taulukon perusteella kultaisen luvun 16 pääsiäisen täysikuu on 21. maaliskuuta. Viikkotaulukosta 21. maaliskuuta on lauantai. Pääsiäissunnuntai on seuraava sunnuntai, 22. maaliskuuta.

Siten tietylle kirkollisen täysikuun päivämäärälle on seitsemän mahdollista pääsiäispäivää. Sunnuntaipäivien kirjainsykli ei kuitenkaan toistu seitsemässä vuodessa: koska karkauspäivä keskeytyy joka neljäs vuosi, täysi sykli, jossa arkipäivät toistuvat kalenterissa samalla tavalla, on 4 × 7 = 28 vuotta, niin sanottu aurinkosykli. Pääsiäispäivät toistuvat siis samassa järjestyksessä 4 × 7 × 19 = 532 vuoden kuluttua. Tätä pääsiäissykliä kutsutaan myös viktoriaaniseksi sykliksi Aquitanian Victoriuksen mukaan, joka otti sen käyttöön Roomassa vuonna 457. Annianus Aleksandrialaisen tiedetään käyttäneen sitä ensimmäisen kerran 5. vuosisadan alussa. Sitä on joskus myös virheellisesti kutsuttu dionyysiseksi sykliksi Dionysius Exiguusin mukaan, joka laati pääsiäistaulukot, jotka alkoivat vuonna 532; mutta hän ei ilmeisesti tajunnut, että hänen kuvaamallaan alexandrialaisella komputuksella oli 532-vuotinen sykli, vaikka hän tajusi, että hänen 95-vuotinen taulukkonsa ei ollut todellinen sykli. Kunnianarvoisa Bede (7. vuosisata) näyttää olleen ensimmäinen, joka tunnisti auringon syklin ja selitti pääsiäissyklin metonisen syklin ja auringon syklin perusteella.

Keskiaikaisessa Länsi-Euroopassa edellä esitetyt pääsiäisen täysikuun (14. Nisan) päivämäärät voitiin opetella ulkoa latinankielisen 19-rivisen alliteratiivisen runon avulla:

Nonae Aprilis	norunt quinos	V
octonae kalendae	assim depromunt.	I
Idus Aprilis	etiam sexis,	VI
nonae quaternae	namque dipondio.	II
Item undene	ambiunt quinos,	V
quatuor idus	capiunt ternos.	III
Ternas kalendas	titulant seni,	VI
quatuor dene	cubant in quadris.	IIII
Septenas idus	septem eligunt,	VII
senae kalendae	sortiunt ternos,	III
denis septenis	donant assim.	I
Pridie nonas	porro quaternis,	IIII
nonae kalendae	notantur septenis.	VII
Pridie idus	panditur quinis,	V
kalendas Aprilis	exprimunt unus.	I
Duodene namque	docte quaternis,	IIII
speciem quintam	speramus duobus.	II
Quaternae kalendae	quinque coniciunt,	V
quindene constant	tribus adeptis.	III

Kunkin rivin ensimmäisellä puolikkaalla rivillä ilmoitetaan edellä olevasta taulukosta pääsiäisen täysikuun päivämäärä kullekin vuodelle 19 vuoden syklissä. Toisella puolikkaalla rivillä ilmoitetaan kyseisen vuoden pääsiäisen täysikuun päivän ferial regular eli arkipäivän siirtymä samanaikaisesta eli maaliskuun 24. päivän arkipäivästä.:xlvii Ferial regular toistuu roomalaisin numeroin kolmannessa sarakkeessa.

”Paradoksaaliset” pääsiäispäivämäärät Muokkaa

Keskimääräisen kevätpäiväntasauksen ja kuun vaiheiden ajankohdan komputististen laskutoimitusten approksimaatioiden ja astronomisten periaatteiden mukaan laskettujen todellisten arvojen välisten eroavaisuuksien vuoksi pääsiäispäivämäärän, joka on laskennallisesti laskettu komputistisen laskutoimituksen mukaan, ja pääsiäispäivämäärän, joka on laskettu tähtitieteellisillä menetelmillä käyttäen kirkkoisille uskottuja periaatteita, välille syntyy ajoittain eroja. Näitä eroja kutsutaan ”paradoksaalisiksi” pääsiäispäiviksi. Vuonna 1474 ilmestyneessä Kalendarium-julkaisussaan Regiomontanus laski Alfonsinin taulukoiden mukaan kaikkien auringon ja kuun yhtymäkohtien tarkat ajankohdat Nürnbergin pituuspiirille vuosiksi 1475-1531. Hän taulukoi työssään 30 tapausta, joissa juliaanisen computuksen pääsiäinen oli ristiriidassa tähtitieteellisen uuden kuun avulla lasketun pääsiäisen kanssa. Kahdeksantoista tapauksessa päivämäärä erosi viikolla, seitsemässä tapauksessa 35 päivällä ja viidessä tapauksessa 28 päivällä.

Ludwig Lange tutki ja luokitteli erityyppisiä paradoksaalisia pääsiäispäivämääriä gregoriaanisen computuksen avulla. Tapauksissa, joissa astronomisen laskennan mukainen kevään ensimmäinen täysikuu osuu sunnuntaille ja Computus antaa pääsiäiseksi saman sunnuntain, vietetty pääsiäinen ajoittuu viikkoa aikaisemmin kuin hypoteettisesti ”astronomisesti” oikea pääsiäinen. Lange kutsui tätä tapausta negatiiviseksi viikoittaiseksi (hebdomadaliseksi) parodoksiksi (H-paradoksi). Jos tähtitieteellisen laskennan mukaan ensimmäinen kevätpuolukkokuu on lauantai eikä pääsiäistä vietetä heti seuraavana sunnuntaina vaan viikkoa myöhemmin, pääsiäistä vietetään laskennan mukaan viikon liian myöhään verrattuna tähtitieteelliseen tulokseen. Hän luokitteli tällaiset tapaukset positiiviseksi viikoittaiseksi (hebdomadaliseksi) paradoksiksi (H+-paradoksi). Eroavaisuudet ovat vieläkin suurempia, jos kevätpäiväntasauksen mukaan on eroa tähtitieteelliseen teoriaan ja Computuksen approksimaatioon nähden. Jos tähtitieteellinen päiväntasaajan täysikuu osuu ennen komputistista päiväntasaajan täysikuuta, pääsiäistä vietetään neljä tai jopa viisi viikkoa liian myöhään. Tällaisia tapauksia kutsutaan Langen mukaan positiiviseksi päiväntasaajan paradoksiksi (A+-paradoksi). Käänteisessä tapauksessa, kun laskennallinen päiväntasaajan täysikuu osuu kuukautta ennen tähtitieteellistä päiväntasaajan täysikuuta, pääsiäistä vietetään neljä tai viisi viikkoa liian aikaisin. Tällaisia tapauksia kutsutaan negatiiviseksi päiväntasaajan paradoksiksi (A-paradoksi). Päiväntasauksen paradoksit pätevät aina globaalisti koko maapallolla, koska päiväntasauksen ja täysikuun järjestys ei riipu maantieteellisestä pituusasteesta. Sen sijaan viikkoparadoksit ovat useimmiten paikallisia ja pätevät vain osassa maapalloa, koska päivän vaihtuminen lauantain ja sunnuntain välillä riippuu maantieteellisestä pituusasteesta. Laskennalliset laskelmat perustuvat Venetsian pituusasteelle, jota Lange kutsui gregoriaaniseksi pituusasteeksi, voimassa oleviin tähtitieteellisiin taulukoihin.

21. ja 22. vuosisadalla negatiiviset viikoittaiset paradoksaaliset pääsiäispäivät ajoittuvat vuosiin 2049, 2076, 2106, 2119 (globaalisti), 2133, 2147, 2150, 2170 ja 2174; positiiviset viikoittaiset paradoksaaliset pääsiäispäivät ajoittuvat vuosiin 2045, 2069, 2089 ja 2096; positiiviset päivämäärät ajoittuvat vuosiin 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 ja 2190. Vuosina 2076 ja 2133 esiintyy ”kaksoisparadoksia (positiivinen päiväntasaajan ja negatiivinen viikoittainen). Negatiiviset päiväntasaajan paradoksit ovat äärimmäisen harvinaisia; niitä esiintyy vain kahdesti vuoteen 4000 asti, vuonna 2353, jolloin pääsiäinen on viisi viikkoa liian aikaisin ja vuonna 2372, jolloin pääsiäinen on neljä viikkoa liian aikaisin.