Jos A ja B ovat kaksi pysyvää lauseketta, kirjoitamme A = B, jos ne ovat yhtä suuret, ja A ≠ B, jos ne eivät ole. Esimerkiksi mille tahansa luvulle tai lausekkeelle N, N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². Toisaalta 1 ≠ 2,5. Sellaisilla lausekkeilla kuin N = N ei voi mennä pieleen, koska ne eivät sano paljoa. Esimerkiksi 1 + 1 ei näytä samalta kuin 2, mutta symbolien 1, 2, + määritelmät ja aritmeettiset säännöt kertovat, että 1 + 1 = 2. Yhtäläisyys ei siis välttämättä tarkoita sitä, että ne ovat samat.
Myös väite, johon liittyy symboli ”=”, voi pitää paikkansa tai olla pitämättä paikkansa. Vaikka 1 + 1 = 2 on oikea lausuma, 1 + 2 = 4 ei ole. Sama pätee symboliin ”≠”, joka ei ole yhtä suuri. Mutta merkitys on juuri päinvastainen kuin ”=”. Kun 1 + 2 ≠ 4 on oikea lausuma, 1 + 1 ≠ 2 ei ole.
”=” käytetään ongelman asettamiseen
Jos lausekkeet A ja B eivät ole vakioita, eli jos niissä on muuttujia, niin useimmiten A = B tarkoittaa pyyntöä löytää muuttujien arvot, joille A:sta tulee yhtäsuuri kuin B:stä. Esimerkiksi x + 1 = 4, riippuen siitä, mitä x voi merkitä, voi olla oikein tai väärin. Pyyntö ratkaista x + 1 = 4 tarkoittaa, että etsitään se x:n arvo (tai arvot), jonka x + 1 on yhtä suuri kuin 4. Tässä nimenomaisessa tapauksessa on vain yksi x:n arvo, joka täyttää tehtävän, nimittäin x = 3.
Terminologia vaihtelee. Minulle opetettiin, että lauseketta A = B, jossa A ja B ovat vakioita, kiinteitä lausekkeita, kutsutaan tasa-arvoksi tai identiteetiksi. Jos ne sisältävät muuttujia, A = B:tä kutsutaan yhtälöksi. Nykyään käytetään termiä ”yhtälö” molemmissa tapauksissa, ensin mainittua sanotaan vakioyhtälöksi.
Syy jälkimmäiseen käyttöön on mielestäni se, että algebrassa vakioilmaus voi sisältää muuttujan kaltaisia symboleja yleisten lukujen merkitsemiseksi. Esimerkiksi (x + y)² = x² + 2xy + y² on lauseke, jota ei ole tarkoitus ratkaista. Se yksinkertaisesti sanoo, että kaksi lauseketta, (x + y)² vasemmalla ja x² + 2xy + y² oikealla, ovat yhtä suuret riippumatta x:n ja y:n erityisarvoista. Tämä käyttö on samanlainen kuin fysikaalisten lakien lausekkeissa. Esimerkiksi Einsteinin laissa E = mc² E ja m ovat muuttujia, kun taas c on vakio.
”=” käytetään määrittelemään tai nimeämään kohde
Algebrassa voidaan määritellä funktio f(x) = x² + 2x³. Tämä ei ole lauseke eikä pyyntö ratkaista yhtälö. Tämä on kätevä määritelmä. Kun se on annettu, voidaan puhua funktion f potensseista, sen derivaatasta f’ tai sen iteraateista f(f(x)), f(f(f(f(x))), …
Geometriassa, toisena esimerkkinä, voidaan esittää piste A = (2, 3) ja toinen piste B = (-2, 5). Keskipiste M = (A + B)/2 = (0, 4) sijaitsee y-akselilla.
Vertailun symbolit ”<” ja ”>”
Joitakin matemaattisia kohteita voidaan verrata, esim. kahdesta eri kokonaisluvusta toinen on suurempi, toinen pienempi. Muita matemaattisia objekteja, esimerkiksi kompleksilukuja, ei voi verrata, jos vertailuoperaatiolla oletetaan olevan tiettyjä ominaisuuksia.
Symboli ”>” tarkoittaa ”suurempi kuin”; symboli ”<” tarkoittaa ”pienempi kuin”. Esimerkiksi 2 < 5, 5 > 2. Jotta muistaisit, kumpi on kumpi, huomaa, että molemmilla symboleilla on yksi terävä puoli, jossa on vain yksi pää, ja yksi halkaistu puoli, jossa on kaksi päätä. Se, että 1 on pienempi kuin 2, ilmaistaan muodossa 1 < 2, joka on sama kuin 2 > 1, eli että 2 on suurempi kuin 1. Teräväkärkinen pää, jossa on yksi päätepiste, osoittaa pienempään näistä kahdesta lausekkeesta.
Vertailun symboleja, kuten tasa-arvon symbolia, voidaan käyttää lausekkeen tekemiseen tai ongelman asettamiseen. 2 < 5 on oikea lausuma. 5 < 2 on virheellinen lausuma. x + 2 < 5 voi olla oikein tai väärin riippuen x:n arvosta. Sinua voidaan pyytää etsimään ne x:n arvot, joille x + 2 < 5. Tällöin lisäämällä -2 epätasa-arvon molemmille puolille saadaan x < 3, joka on ratkaisu x + 2 < 5.
Algebrassa lauseke voi sisältää yleisiä muuttujia, kuten AM-GM-epätasa-arvo: (x + y) / 2 ≥ √xy, joka on tosi kaikille positiivisille x:lle ja y:lle.
Sivumennen sanoen symboli ”≤” tarkoittaa ”pienempi tai yhtä suuri kuin”. (x + y) / 2 ≥ √xy, muuttuu yhtäläisyydeksi, kun x = y. Esimerkiksi, jos x = y = 2, niin (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
Myös √xy = √2-2 = 2. Jos x ≠ y, epätasa-arvosta tulee ”tiukka”: (x + y) / 2 > √xy.
Epäyhtälöllä -x² > x² ei ole ratkaisuja kokonaislukujen joukossa. Epäyhtälöllä -x² ≥ x² on yksi ratkaisu: x = 0.
Seuraava aineistoLue lisää…
|Yhteys|||Etusivu|||Sisältö||Aritmetiikka|