Computus

Calendrier grégorienEdit

Comme la réforme du computus était la principale motivation de l’introduction du calendrier grégorien en 1582, une méthodologie correspondante du computus a été introduite parallèlement au calendrier. La méthode générale de travail a été donnée par Clavius dans les Six Canons (1582), et une explication complète a suivi dans son Explicatio (1603).

Le dimanche de Pâques est le dimanche qui suit la date de la pleine lune pascale. La date de la pleine lune pascale est la date de la pleine lune ecclésiastique le 21 mars ou après. La méthode grégorienne dérive les dates de la pleine lune pascale en déterminant l’épact pour chaque année. L’épacte peut avoir une valeur comprise entre * (0 ou 30) et 29 jours. Théoriquement, un mois lunaire (épacte 0) commence avec la nouvelle lune, et le croissant de lune est visible pour la première fois le premier jour du mois (épacte 1). Le 14e jour du mois lunaire est considéré comme le jour de la pleine lune.

Historiquement, la date de la pleine lune pascale pour une année était trouvée à partir de son numéro d’ordre dans le cycle métonique, appelé nombre d’or, cycle qui répète la phase lunaire le 1er janvier tous les 19 ans. Cette méthode a été abandonnée lors de la réforme grégorienne car les dates tabulaires se désynchronisent de la réalité après environ deux siècles, mais à partir de la méthode de l’épacte, on peut construire une table simplifiée qui a une validité de un à trois siècles.

Les épactes du cycle métonique actuel, qui a débuté en 2014, sont :

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Le tableau ci-dessus est valable de 1900 à 2199 inclus. A titre d’exemple d’utilisation, le nombre d’or pour 2038 est 6 (2038 ÷ 19 = 107 reste 5, puis +1 = 6). D’après la table, la pleine lune pascale pour le nombre d’or 6 est le 18 avril. D’après la table hebdomadaire, le 18 avril est un dimanche. Le dimanche de Pâques est le dimanche suivant, le 25 avril.

On utilise les épactes pour trouver les dates de la nouvelle lune de la manière suivante : Rédigez un tableau des 365 jours de l’année (le jour bissextile est ignoré). Ensuite, identifiez toutes les dates par un chiffre romain en comptant vers le bas, de « * » (0 ou 30), « xxix » (29), jusqu’à « i » (1), à partir du 1er janvier, et répétez cette opération jusqu’à la fin de l’année. Cependant, dans une période sur deux, ne comptez que 29 jours et marquez la date avec xxv (25) et xxiv (24). Traitez donc la 13ème période (les onze derniers jours) comme longue et attribuez les étiquettes « xxv » et « xxiv » aux dates séquentielles (respectivement 26 et 27 décembre). Enfin, en plus, ajoutez l’étiquette « 25 » aux dates qui ont « xxv » dans les périodes de 30 jours ; mais dans les périodes de 29 jours (qui ont « xxiv » en même temps que « xxv ») ajoutez l’étiquette « 25 » à la date avec « xxvi ». La répartition des longueurs des mois et des cycles d’épactes est telle que chaque mois du calendrier civil commence et se termine par la même étiquette d’épactes, à l’exception de février et des étiquettes d’épactes « xxv » et « 25 » en juillet et août. Ce tableau s’appelle le calendarium. Les nouvelles lunes ecclésiastiques d’une année sont les dates auxquelles l’épacte de l’année est inscrit. Si l’épact de l’année est par exemple 27, alors il y a une nouvelle lune ecclésiastique à chaque date de cette année qui a l’étiquette d’épact « xxvii » (27).

Etablissez également une étiquette pour toutes les dates du tableau avec les lettres « A » à « G », en commençant par le 1er janvier, et répétez jusqu’à la fin de l’année. Si, par exemple, le premier dimanche de l’année est le 5 janvier, qui a la lettre « E », alors chaque date avec la lettre « E » est un dimanche cette année-là. La lettre « E » est alors appelée la lettre dominicale pour cette année (du latin : dies domini, jour du Seigneur). La lettre dominicale recule d’une position chaque année. Cependant, dans les années bissextiles après le 24 février, les dimanches tombent sur la lettre précédente du cycle, donc les années bissextiles ont deux lettres dominicales : la première pour avant, la seconde pour après le jour bissextile.

En pratique, pour le calcul de Pâques, il n’est pas nécessaire de le faire pour les 365 jours de l’année. Pour les épactes, le mois de mars sort exactement comme le mois de janvier, on n’a donc pas besoin de calculer janvier ou février. Pour éviter également de devoir calculer les lettres dominicales pour janvier et février, commencez par D pour le 1er mars. Vous n’avez besoin des épactes que du 8 mars au 5 avril. Cela donne le tableau suivant:

Un tableau provenant de Suède pour calculer la date de Pâques 1140-1671 selon le calendrier julien. Remarquez l’écriture runique.

Diagramme chronologique de la date de Pâques depuis 600 ans, de la réforme du calendrier grégorien à l’an 2200 (par Camille Flammarion, 1907)

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Exemple : Si l’épacte est 27 (xxvii), une nouvelle lune ecclésiastique tombe à chaque date étiquetée xxvii. La pleine lune ecclésiastique tombe 13 jours plus tard. D’après le tableau ci-dessus, cela donne une nouvelle lune le 4 mars et le 3 avril, et donc une pleine lune le 17 mars et le 16 avril.

Alors le jour de Pâques est le premier dimanche après la première pleine lune ecclésiastique le 21 mars ou après. Cette définition utilise « le 21 mars ou après » pour éviter toute ambiguïté avec la signification historique du mot « après ». Dans le langage moderne, cette expression signifie simplement « après le 20 mars ». La définition de « le 21 mars ou après » est fréquemment abrégée de manière incorrecte en « après le 21 mars » dans les articles publiés et sur le web, ce qui entraîne des dates de Pâques incorrectes.

Dans l’exemple, cette pleine lune pascale est le 16 avril. Si la lettre dominicale est E, alors le jour de Pâques est le 20 avril.

L’étiquette « 25 » (à distinguer de « xxv ») est utilisée comme suit : Dans un cycle métonique, les années qui sont séparées de 11 ans ont des épactes qui diffèrent d’un jour. Un mois commençant à une date ayant les étiquettes xxiv et xxv impactées ensemble a soit 29, soit 30 jours. Si les épactes 24 et 25 se produisent au cours d’un même cycle métonique, les nouvelles lunes (et les pleines lunes) tomberaient aux mêmes dates pour ces deux années. Ceci est possible pour la lune réelle mais est inélégant dans un calendrier lunaire schématique ; les dates ne devraient se répéter qu’après 19 ans. Pour éviter cela, pour les années dont l’épacte est 25 et dont le nombre d’or est supérieur à 11, la nouvelle lune calculée tombe à la date portant l’étiquette 25 plutôt que xxv. Lorsque les étiquettes 25 et xxv sont ensemble, il n’y a pas de problème puisqu’elles sont identiques. Cela ne déplace pas le problème vers la paire « 25 » et « xxvi », car l’épacte 26 le plus tôt pourrait apparaître serait en l’an 23 du cycle, qui ne dure que 19 ans : il y a un saltus lunae entre les deux qui fait que les nouvelles lunes tombent à des dates séparées.

Le calendrier grégorien a une correction de l’année tropique en abandonnant trois jours bissextiles en 400 ans (toujours en année centenaire). Il s’agit d’une correction de la longueur de l’année tropique, mais qui ne devrait pas avoir d’effet sur la relation Métonique entre les années et les lunaisons. Par conséquent, l’épacte est compensée (partiellement – voir épacte) en soustrayant un jour dans ces années centenaires. C’est ce qu’on appelle la correction solaire ou « équation solaire » (« équation » étant utilisé dans son sens médiéval de « correction »).

Cependant, 19 années juliennes non corrigées sont un peu plus longues que 235 lunaisons. La différence s’accumule à un jour en environ 310 ans. C’est pourquoi, dans le calendrier grégorien, l’épacte est corrigée en ajoutant 1 huit fois en 2 500 ans (grégoriens), toujours en année centenaire : c’est ce qu’on appelle la correction lunaire (historiquement appelée  » équation lunaire « ). La première a été appliquée en 1800, la prochaine l’est en 2100, et le sera tous les 300 ans, à l’exception d’un intervalle de 400 ans entre 3900 et 4300, qui marque le début d’un nouveau cycle.

Les corrections solaires et lunaires fonctionnent en sens inverse, et dans certaines années centenaires (par exemple 1800 et 2100), elles s’annulent. Il en résulte que le calendrier lunaire grégorien utilise une table d’épacte qui est valable pour une période de 100 à 300 ans. La table d’épacte indiquée ci-dessus est valable pour la période de 1900 à 2199.

DétailsEditer

Cette méthode de calcul présente plusieurs subtilités :

Chaque autre mois lunaire ne compte que 29 jours, de sorte qu’un jour doit avoir deux (sur les 30) étiquettes d’épactes qui lui sont attribuées. La raison du déplacement de l’étiquette épacte « xxv/25 » plutôt qu’une autre semble être la suivante : Selon Dionysius (dans sa lettre d’introduction à Petronius), le concile de Nicée, sur l’autorité d’Eusèbe, a établi que le premier mois de l’année lunaire ecclésiastique (le mois pascal) devait commencer entre le 8 mars et le 5 avril inclus, et que le 14e jour devait tomber entre le 21 mars et le 18 avril inclus, couvrant ainsi une période de (seulement) 29 jours. Une nouvelle lune du 7 mars, dont l’épact est « xxiv », a son 14e jour (pleine lune) le 20 mars, ce qui est trop tôt (pas après le 20 mars). Ainsi, les années dont l’épacte est « xxiv », si le mois lunaire commençant le 7 mars comptait 30 jours, auraient leur nouvelle lune pascale le 6 avril, ce qui est trop tard : La pleine lune tomberait le 19 avril et Pâques pourrait avoir lieu jusqu’au 26 avril. Dans le calendrier julien, la date la plus tardive de Pâques était le 25 avril, et la réforme grégorienne a maintenu cette limite. La pleine lune pascale doit donc tomber au plus tard le 18 avril et la nouvelle lune le 5 avril, qui porte l’étiquette épacte « xxv ». Le 5 avril doit donc avoir sa double étiquette épacte « xxiv » et « xxv ». Ensuite, l’épacte « xxv » doit être traité différemment, comme expliqué dans le paragraphe ci-dessus.

En conséquence, le 19 avril est la date à laquelle Pâques tombe le plus fréquemment dans le calendrier grégorien : Dans environ 3,87% des années. Le 22 mars est le moins fréquent, avec 0,48%.

Répartition de la date de Pâques pour le cycle complet de 5 700 000 ans

La relation entre les dates des calendriers lunaire et solaire est rendue indépendante du schéma des jours bissextiles pour l’année solaire. Fondamentalement, le calendrier grégorien utilise toujours le calendrier julien avec un jour bissextile tous les quatre ans, donc un cycle métonique de 19 ans compte 6 940 ou 6 939 jours avec cinq ou quatre jours bissextiles. Or le cycle lunaire ne compte que 19 × 354 + 19 × 11 = 6 935 jours. En n’étiquetant pas et en ne comptant pas le jour bissextile avec un numéro d’épact, mais en faisant en sorte que la prochaine nouvelle lune tombe à la même date calendaire que sans le jour bissextile, la lunaison actuelle est prolongée d’un jour, et les 235 lunaisons couvrent autant de jours que les 19 années. Ainsi, la charge de la synchronisation du calendrier avec la lune (précision à moyen terme) est transférée au calendrier solaire, qui peut utiliser n’importe quel système d’intercalation approprié, tout en supposant que 19 années solaires = 235 lunaisons (précision à long terme). Il s’ensuit que l’âge de la lune peut être décalé d’un jour, et que les lunaisons contenant le jour bissextile peuvent compter 31 jours, ce qui ne se produirait jamais si l’on suivait la lune réelle (inexactitudes à court terme). C’est le prix à payer pour un ajustement régulier au calendrier solaire.

Du point de vue de ceux qui pourraient souhaiter utiliser le cycle grégorien de Pâques comme calendrier pour l’année entière, il y a quelques défauts dans le calendrier lunaire grégorien (bien qu’ils n’aient aucun effet sur le mois pascal et la date de Pâques) :

1. Des lunaisons de 31 (et parfois 28) jours se produisent.
2. Si une année dont le nombre d’or est 19 se trouve avoir l’épacte 19, alors la dernière nouvelle lune ecclésiastique tombe le 2 décembre ; la suivante serait due le 1er janvier. Cependant, au début de la nouvelle année, un saltus lunae augmente l’épacte d’une autre unité, et la nouvelle lune aurait dû se produire le jour précédent. Une nouvelle lune est donc manquée. Le calendarium du Missale Romanum en tient compte en attribuant l’étiquette d’épactes  » 19  » au lieu de  » xx  » au 31 décembre d’une telle année, faisant de cette date la nouvelle lune. Cela s’est produit tous les 19 ans lorsque la table d’épactes grégorienne originale était en vigueur (pour la dernière fois en 1690), et se produit ensuite en 8511.
3. Si l’épactes d’une année est 20, une nouvelle lune ecclésiastique tombe le 31 décembre. Si cette année tombe avant une année centenaire, alors dans la plupart des cas, une correction solaire réduit l’épact de la nouvelle année de un : L’épacte résultant « * » signifie qu’une autre nouvelle lune ecclésiastique est comptée le 1er janvier. Ainsi, formellement, une lunaison d’un jour s’est écoulée. Cela se produit ensuite en 4199-4200.
4. D’autres cas limites se produisent (beaucoup) plus tard, et si les règles sont suivies à la lettre et que ces cas ne font pas l’objet d’un traitement particulier, ils génèrent des dates de nouvelle lune successives espacées de 1, 28, 59 ou (très rarement) 58 jours.

Une analyse attentive montre que par la façon dont ils sont utilisés et corrigés dans le calendrier grégorien, les épactes sont en fait des fractions de lunaison (1/30, aussi appelé tithi) et non des jours entiers. Voir épact pour une discussion.

Les corrections solaires et lunaires se répètent après 4 × 25 = 100 siècles. Durant cette période, l’épacte a changé d’un total de -1 × 3/4 × 100 + 1 × 8/25 × 100 = -43 ≡ 17 mod 30. Cette valeur est première par rapport aux 30 épactes possibles, il faut donc 100 × 30 = 3 000 siècles avant que les épactes ne se répètent ; et 3 000 × 19 = 57 000 siècles avant que les épactes ne se répètent au même nombre d’or. Cette période compte 5 700 000/19 × 235 – 43/30 × 57 000/100 = 70 499 183 lunaisons. Les dates de Pâques grégoriennes ne se répètent donc exactement dans le même ordre qu’après 5 700 000 ans, 70 499 183 lunaisons, soit 2 081 882 250 jours ; la durée moyenne des lunaisons est alors de 29,53058690 jours. Cependant, le calendrier a déjà dû être ajusté après quelques millénaires en raison des modifications de la longueur de l’année tropicale, du mois synodique et du jour.

Graphes des dates du dimanche de Pâques occidental (catholique) et oriental (orthodoxe) par rapport à l’équinoxe de mars et aux pleines lunes de 1950 à 2050 sur le calendrier grégorien

Ceci soulève la question de savoir pourquoi le calendrier lunaire grégorien a des corrections solaires et lunaires distinctes, qui s’annulent parfois. Le travail original de Lilius n’a pas été conservé, mais sa proposition a été décrite dans le Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium diffusé en 1577, dans lequel il est expliqué que le système de correction qu’il a imaginé devait être un outil parfaitement flexible entre les mains des futurs réformateurs du calendrier, puisque le calendrier solaire et le calendrier lunaire pouvaient désormais être corrigés sans interférence mutuelle. Un exemple de cette flexibilité a été fourni par une séquence d’intercalation alternative dérivée des théories de Copernic, ainsi que par les corrections d’épactes correspondantes.

Les « corrections solaires » annulent approximativement l’effet des modifications grégoriennes des jours bissextiles du calendrier solaire sur le calendrier lunaire : elles ramènent (partiellement) le cycle d’épactes à la relation métonique originale entre l’année julienne et le mois lunaire. Le décalage inhérent entre le soleil et la lune dans ce cycle de base de 19 ans est ensuite corrigé tous les trois ou quatre siècles par la « correction lunaire » des épactes. Cependant, les corrections d’épactes se produisent au début des siècles grégoriens, et non des siècles juliens, et donc le cycle métonique julien original n’est pas entièrement rétabli.

Alors que les soustractions nettes d’épactes 4 × 8 – 3 × 25 = 43 pourraient être réparties uniformément sur 10 000 ans (comme l’a proposé par exemple le Dr Heiner Lichtenberg).

Si les corrections sont combinées, alors les imprécisions des deux cycles sont également ajoutées et ne peuvent pas être corrigées séparément.

Les rapports des jours (solaires moyens) par an et des jours par lunaison changent à la fois à cause des variations intrinsèques à long terme des orbites, et parce que la rotation de la Terre ralentit en raison de la décélération des marées, de sorte que les paramètres grégoriens deviennent de plus en plus obsolètes.

Cela affecte la date de l’équinoxe, mais il se trouve que l’intervalle entre les équinoxes vers le nord (printemps de l’hémisphère nord) a été assez stable au cours des temps historiques, surtout si on le mesure en temps solaire moyen (voir, esp.)

Aussi, la dérive des pleines lunes ecclésiastiques calculées par la méthode grégorienne par rapport aux vraies pleines lunes est affectée moins qu’on ne le pense, car l’augmentation de la longueur du jour est presque exactement compensée par l’augmentation de la longueur du mois, le freinage par les marées transférant le moment angulaire de la rotation de la Terre au moment angulaire orbital de la Lune.

La valeur ptolémaïque de la longueur du mois synodique moyen, établie vers le IVe siècle avant notre ère par les Babyloniens, est de 29 jours 12 hr 44 min 3+1/3 s (voir Kidinnu) ; la valeur actuelle est inférieure de 0,46 s (voir Nouvelle lune). Dans le même laps de temps historique, la durée de l’année tropicale moyenne a diminué d’environ 10 s (toutes les valeurs signifient le temps solaire).

La loi sur le calendrier britannique et le Book of Common PrayerEdit

La partie de la section Méthodes tabulaires ci-dessus décrit les arguments historiques et les méthodes par lesquelles les dates actuelles du dimanche de Pâques ont été décidées à la fin du 16e siècle par l’Église catholique. En Grande-Bretagne, où le calendrier julien était alors encore utilisé, le dimanche de Pâques a été défini, de 1662 à 1752 (conformément à la pratique antérieure), par une simple table de dates dans le Prayer Book anglican (décrété par l’Act of Uniformity 1662). La table était indexée directement par le nombre d’or et la lettre du dimanche, qui (dans la section de Pâques du livre) étaient supposés être déjà connus.

Pour l’Empire britannique et les colonies, la nouvelle détermination de la date du dimanche de Pâques a été définie par ce qui est maintenant appelé le Calendar (New Style) Act 1750 avec son annexe. La méthode a été choisie pour donner des dates en accord avec la règle grégorienne déjà utilisée ailleurs. La loi exigeait qu’elle soit inscrite dans le Book of Common Prayer, et c’est donc la règle anglicane générale. L’acte original peut être consulté dans les British Statutes at Large de 1765. L’annexe de la loi comprend la définition suivante : « Le jour de Pâques (dont dépendent les autres jours) est toujours le premier dimanche après la pleine lune, qui se produit le vingt-et-unième jour de mars ou le jour suivant. Et si la pleine lune a lieu un dimanche, le jour de Pâques est le dimanche suivant ». L’annexe utilise par la suite les termes de « pleine lune pascale » et de « pleine lune ecclésiastique », précisant qu’ils se rapprochent de la pleine lune réelle.

La méthode est bien distincte de celle décrite ci-dessus dans le calendrier grégorien. Pour une année générale, on détermine d’abord le nombre d’or, puis on utilise trois tables pour déterminer la lettre du dimanche, un « chiffre », et la date de la pleine lune pascale, dont découle la date du dimanche de Pâques. L’épacte n’apparaît pas explicitement. Des tables plus simples peuvent être utilisées pour des périodes limitées (comme 1900-2199) pendant lesquelles le chiffre (qui représente l’effet des corrections solaires et lunaires) ne change pas. Les détails de Clavius ont été employés dans la construction de la méthode, mais ils ne jouent aucun rôle ultérieur dans son utilisation.

J. R. Stockton montre sa dérivation d’un algorithme informatique efficace traçable aux tables du Prayer Book et du Calendar Act (en supposant qu’une description de l’utilisation des tables soit à portée de main), et vérifie ses processus en calculant des tables correspondantes.

Calendrier julienEdit

Distribution de la date de Pâques dans la plupart des églises orientales 1900-2099 vs distribution occidentale de Pâques

Méthode de calcul de la date de la pleine lune ecclésiastique qui était standard pour l’église occidentale avant la réforme du calendrier grégorien, et qui est encore utilisée aujourd’hui par la plupart des chrétiens orientaux, faisait appel à une répétition non corrigée du cycle métonique de 19 ans en combinaison avec le calendrier julien. En ce qui concerne la méthode des épactes discutée ci-dessus, elle utilisait effectivement une seule table d’épactes commençant par une épacte de 0, qui n’était jamais corrigée. Dans ce cas, l’épacte était compté le 22 mars, la date la plus proche acceptable pour Pâques. Cela se répète tous les 19 ans, il n’y a donc que 19 dates possibles pour la pleine lune pascale du 21 mars au 18 avril inclus.

Parce qu’il n’y a pas de corrections comme pour le calendrier grégorien, la pleine lune ecclésiastique dérive de la vraie pleine lune de plus de trois jours tous les millénaires. Elle est déjà décalée de quelques jours. Par conséquent, les églises orientales célèbrent Pâques une semaine plus tard que les églises occidentales dans environ 50 % des cas. (La Pâques orientale est occasionnellement quatre ou cinq semaines plus tard parce que le calendrier julien a 13 jours de retard sur le grégorien en 1900-2099, et donc la pleine lune pascale grégorienne est parfois avant le 21 mars julien.)

Le numéro d’ordre d’une année dans le cycle de 19 ans est appelé son nombre d’or. Ce terme a été utilisé pour la première fois dans le poème compultiste Massa Compoti d’Alexandre de Villa Dei en 1200. Un scribe ultérieur a ajouté le nombre d’or aux tables composées à l’origine par Abbo de Fleury en 988.

L’affirmation de l’Église catholique dans la bulle papale Inter gravissimas de 1582, qui promulguait le calendrier grégorien, selon laquelle elle rétablissait « la célébration de Pâques selon les règles fixées par .. le grand concile œcuménique de Nicée » était basée sur une fausse affirmation de Dionysius Exiguus (525) selon laquelle « nous déterminons la date du jour de Pâques … conformément à la proposition convenue par les 318 Pères de l’Église lors du concile de Nicée ». Le premier concile de Nicée (325) n’a cependant pas fourni de règles explicites pour déterminer cette date, mais a seulement écrit que « tous nos frères d’Orient qui suivaient auparavant la coutume des Juifs doivent désormais célébrer ladite fête très sacrée de Pâques en même temps que les Romains, vous-mêmes et tous ceux qui ont observé Pâques depuis le début ». Le computus médiéval était basé sur le computus alexandrin, qui avait été développé par l’Église d’Alexandrie au cours de la première décennie du IVe siècle en utilisant le calendrier alexandrin :36 L’Empire romain d’Orient l’a accepté peu après 380 après avoir converti le computus au calendrier julien :48 Rome l’a accepté entre le VIe et le IXe siècle. Les îles britanniques l’ont accepté au cours du huitième siècle, à l’exception de quelques monastères. La Francie (toute l’Europe occidentale à l’exception de la Scandinavie (païenne), des îles britanniques, de la péninsule ibérique et de l’Italie du Sud) l’a accepté au cours du dernier quart du VIIIe siècle. Le dernier monastère celte à l’accepter, Iona, l’a fait en 716, tandis que le dernier monastère anglais l’a fait en 931. Avant ces dates, d’autres méthodes produisaient des dates de dimanche de Pâques qui pouvaient différer jusqu’à cinq semaines.

C’est le tableau des dates de la pleine lune pascale pour toutes les années juliennes depuis 931 :

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Exemple de calcul utilisant ce tableau :

Le nombre d’or de 1573 est 16 (1573 + 1 = 1574 ; 1574 ÷ 19 = 82 reste 16). D’après la table, la pleine lune pascale pour le nombre d’or 16 est le 21 mars. Dans le tableau hebdomadaire, le 21 mars est un samedi. Le dimanche de Pâques est le dimanche suivant, le 22 mars.

Donc pour une date donnée de la pleine lune ecclésiastique, il y a sept dates de Pâques possibles. Le cycle des lettres dominicales ne se répète cependant pas en sept ans : en raison des interruptions du jour bissextile tous les quatre ans, le cycle complet au cours duquel les jours de la semaine se répètent de la même manière dans le calendrier, est de 4 × 7 = 28 ans, ce qu’on appelle le cycle solaire. Les dates de Pâques se répètent donc dans le même ordre après 4 × 7 × 19 = 532 ans. Ce cycle pascal est également appelé cycle victorien, d’après Victoire d’Aquitaine, qui l’a introduit à Rome en 457. On sait qu’il a été utilisé pour la première fois par Annianus d’Alexandrie au début du Ve siècle. Il a aussi parfois été appelé à tort cycle dionysiaque, d’après Dionysius Exiguus, qui a préparé des tables de Pâques qui commençaient en 532 ; mais il ne s’est apparemment pas rendu compte que le computus alexandrin qu’il a décrit avait un cycle de 532 ans, bien qu’il se soit rendu compte que sa table de 95 ans n’était pas un vrai cycle. Le vénérable Bède (7e siècle) semble avoir été le premier à identifier le cycle solaire et à expliquer le cycle pascal à partir du cycle métonique et du cycle solaire.

En Europe occidentale médiévale, les dates de la pleine lune pascale (14 Nisan) données ci-dessus pouvaient être mémorisées à l’aide d’un poème allitératif de 19 lignes en latin :

Nonae Aprilis	norunt quinos	V
octonae kalendae	assim depromunt.	I
Idus Aprilis	etiam sexis,	VI
nonae quaternae	namque dipondio.	II
Item undene	ambiunt quinos,	V
quatuor idus	capiunt ternos.	III
Ternas kalendas	titulant seni,	VI
quatuor dene	cubant in quadris.	IIII
Septenas idus	septem eligunt,	VII
senae kalendae	sortiunt ternos,	III
denis septenis	donant assim.	I
Pridie nonas	porro quaternis,	II
nonae kalendae	notantur septenis.	VII
Pridie idus	panditur quinis,	V
kalendas Aprilis	exprimunt unus.	I
Duodene namque	docte quaternis,	IIII
speciem quintam	speramus duobus.	II
Quaternae kalendae	quinque coniciunt,	V
quindene constant	tribus adeptis.	III

La première demi-ligne de chaque ligne donne la date de la pleine lune pascale du tableau ci-dessus pour chaque année du cycle de 19 ans. La deuxième demi-ligne donne le ferial régulier, ou déplacement en semaine, du jour de la pleine lune pascale de cette année à partir du concurrent, ou le jour de semaine du 24 mars.:xlvii Le ferial régulier est répété en chiffres romains dans la troisième colonne.

Dates de Pâques « paradoxales »

En raison des divergences entre les approximations des calculs computationnels du temps de l’équinoxe vernal moyen et des phases lunaires, et les vraies valeurs calculées selon les principes astronomiques, des différences apparaissent occasionnellement entre la date de Pâques selon le calcul computationnel et la date hypothétique de Pâques calculée par des méthodes astronomiques utilisant les principes attribués aux pères de l’Église. Ces divergences sont appelées dates de Pâques « paradoxales ». Dans son Kalendarium de 1474, Regiomontanus a calculé le moment exact de toutes les conjonctions du Soleil et de la Lune pour la longitude de Nuremberg selon les Tables Alfonsines pour la période de 1475 à 1531. Dans son travail, il a répertorié 30 cas où la Pâques du computus julien était en désaccord avec la Pâques calculée à l’aide de la Nouvelle Lune astronomique. Dans dix-huit cas, la date différait d’une semaine, dans sept cas de 35 jours et dans cinq cas de 28 jours.

Ludwig Lange a étudié et classé différents types de dates de Pâques paradoxales en utilisant le computus grégorien. Dans les cas où la première pleine lune vernal selon le calcul astronomique se produit un dimanche et que le Computus donne le même dimanche comme Pâques, la Pâques célébrée a lieu une semaine en avance par rapport à l’hypothétique Pâques « astronomiquement » correcte. Lange a appelé ce cas un paraodoxe hebdomadaire (hebdomadaire) négatif (paradoxe H). Si le calcul astronomique donne un samedi pour la première pleine lune vernal et que Pâques n’est pas célébré le dimanche suivant mais une semaine plus tard, Pâques est célébré selon le computus une semaine trop tard par rapport au résultat astronomique. Il a qualifié ces cas de paradoxe hebdomadaire (hebdomadaire) positif (paradoxe H+). Les divergences sont encore plus grandes s’il y a une différence selon l’équinoxe vernal par rapport à la théorie astronomique et à l’approximation du computus. Si la pleine lune équinoxiale astronomique tombe avant la pleine lune équinoxiale computationnelle, Pâques sera célébrée quatre ou même cinq semaines trop tard. De tels cas sont appelés paradoxe équinoxial positif (paradoxe A+) selon Lange. Dans le cas inverse, lorsque la pleine lune équinoxiale computistique tombe un mois avant la pleine lune équinoxiale astronomique, Pâques est célébrée quatre ou cinq semaines trop tôt. De tels cas sont appelés paradoxe équinoxial négatif (paradoxe A). Les paradoxes équinoxiaux sont toujours valables globalement pour la terre entière, car la séquence de l’équinoxe et de la pleine lune ne dépend pas de la longitude géographique. En revanche, les paradoxes hebdomadaires sont locaux dans la plupart des cas et ne sont valables que pour une partie de la terre, car le changement de jour entre le samedi et le dimanche dépend de la longitude géographique. Les calculs computationnels sont basés sur des tables astronomiques valables pour la longitude de Venise, que Lange a appelé la longitude grégorienne.

Au 21e et 22e siècle, les dates de Pâques paradoxales hebdomadaires négatives se produisent en 2049, 2076, 2106, 2119 (global), 2133, 2147, 2150, 2170 et 2174 ; les dates paradoxales hebdomadaires positives se produisent en 2045, 2069, 2089 et 2096 ; les dates paradoxales équinoxiales positives en 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 et 2190. En 2076 et 2133, des « doubles paradoxes (équinoxial positif et hebdomadaire négatif) se produisent. Les paradoxes équinoxiaux négatifs sont extrêmement rares ; ils ne se produisent que deux fois jusqu’à l’an 4000, en 2353, lorsque Pâques a lieu cinq semaines trop tôt et en 2372, lorsque Pâques a lieu quatre semaines trop tôt.