Propriétés des triangles

Propriétés des triangles

Les triangles sont des figures fermées à trois côtés. Selon la mesure des côtés et des angles, les triangles sont des types suivants :

• Triangles équilatéraux : Un triangle équilatéral a tous les côtés et les angles de même mesure. Ce type de triangle est aussi appelé triangle aigu car tous ses côtés ont une mesure de 60°.
• Triangle isocèle : Un triangle isocèle est celui qui a deux côtés égaux et deux angles égaux.
• Triangle scalène : Dans un triangle scalène, aucun côté et aucun angle ne sont égaux entre eux.

Selon les angles, les triangles sont des types suivants :

• Triangle aigu : Les triangles, dont tous les côtés sont à angle aigu les uns par rapport aux autres, sont appelés triangles aigus. Le meilleur exemple de ce type de triangle est le triangle équilatéral.
• Triangle obtus : Le triangle à angle obtus est celui dont un côté est à angle obtus. Les triangles isocèles et les triangles scalènes entrent dans cette catégorie de triangles.
• Triangle à angle droit : Un triangle dont un angle est égal à 90° est appelé triangle rectangle.

Lorsque nous étudions les propriétés d’un triangle, nous prenons généralement en considération les triangles isocèles, car ce triangle est le mélange de l’égalité et des inégalités. Voyons la figure donnée ci-dessous avant d’étudier plus avant les propriétés des triangles.

La figure donnée ci-dessus représente un triangle isocèle PQR. Qu’observez-vous dans cette figure ? Les deux côtés du triangle sont égaux. Maintenant, à l’aide d’un rapporteur, mesurez également les angles. En mesurant les angles, nous observons que ∠Q et ∠R sont également égaux. Cela implique que dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont également égaux.

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Les propriétés suivantes des triangles rendront le concept plus clair pour vous :

Les angles opposés aux côtés égaux d’un triangle isocèle sont également égaux

Dans un triangle isocèle XYZ, deux côtés du triangle sont égaux. On a XY=XZ. Ici, nous devons prouver que ∠Y =∠Z. Dessinons d’abord le triangle, avec un point W comme bissectrice de ∠X.

Dans Δ YXW et Δ ZXW,
XY=XZ (comme donné)
∠YXW = ∠ZXW (W bissecte l’angle ∠X)
XW=XW (côté commun)
Donc par la règle du côté-angle-côte (SAS) ; Δ YXW ≅ Δ ZXW
Comme les angles correspondants des triangles congruents, ∠XYW = ∠XZW
Hence ∠Y = ∠Z

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Les côtés opposés aux angles égaux d’un triangle sont également égaux

Cette propriété est l’inverse de la propriété ci-dessus. Pour cela, nous devons mesurer les côtés du triangle avec une échelle et les angles avec un rapporteur. En mesurant respectivement les côtés et les angles, nous arrivons à la conclusion que les côtés opposés à des angles égaux sont également égaux. Nous utilisons la règle de congruence ASA pour prouver la propriété.

Question résolue pour vous

Question 1 : La figure ci-dessous représente un triangle PQR avec PQ=PR, S et T sont deux points sur QR tels que QT=RS. Montrer que PS=PT.

Réponse : Dans Δ PQS et Δ PRT, PQ=PR. Puisque les angles opposés à des côtés égaux sont des côtés égaux ∠Q = ∠R
Alors, QT= RS
So, QT-ST = RS-ST
c’est-à-dire, QS = TR
So, En utilisant la règle de congruence de SAS, nous arrivons à la conclusion queΔ PQS ≅ Δ PRT
Hence, PS = PT

Question 2 : Qu’est-ce qu’on appelle un triangle ?

Réponse : La propriété d’un triangle équilatéral est qu’il a des côtés égaux. De plus, un triangle dont deux côtés sont égaux est appelé isocèle, et un triangle dont tous les côtés ont une longueur différente est appelé scalène. Un triangle peut être simultanément droit et isocèle, dans ce cas il est appelé triangle rectangle isocèle.

Question 3 : Combien de types de triangles existe-t-il ?

Réponse : Les triangles sont des formes ayant trois côtés. Il existe différents noms pour les types de triangles. Le type d’un triangle dépend de la longueur de ses côtés et de la taille de ses angles (coins). Il existe trois types de triangle basés sur la longueur des côtés : équilatéral, isocèle et scalène.

Question 4 : Qu’est-ce qu’un triangle unique ?

Réponse : La condition deux angles et un côté quelconque détermine un triangle unique. Comme la condition a deux dispositions différentes, on la sépare en deux conditions : la condition deux angles et côté inclus et la condition deux angles et côté opposé à un angle donné.

Question 5 : Qui a inventé le triangle ?

Réponse : Le triangle a été inventé par Blaise Pascal en 1653. Bien qu’il ait été nommé d’après Blaise Pascal, il existe des traces du triangle, bien avant la naissance de Blaise Pascal. On pense que les Perses et les Chinois l’avaient utilisé pour trouver la racine carrée et cubique des nombres.

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