Si A et B sont deux expressions constantes, on écrit A = B si elles sont égales, et A ≠ B, si elles ne le sont pas. Par exemple, pour tout nombre ou expression N, N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². Par contre, 1 ≠ 2,5. On ne peut pas se tromper avec des expressions comme N = N car elles ne disent pas grand-chose. Le signe « = » d’égalité qui se prononce « égal à » a d’autres utilisations plus fructueuses.
« = » est utilisé pour faire une déclaration
Le symbole d’égalité « = » est utilisé pour faire une déclaration que deux expressions d’apparence différente sont en fait égales. Par exemple, 1 + 1 ne ressemble pas à 2 mais les définitions des symboles 1, 2, +, et les règles de l’arithmétique nous disent que 1 + 1 = 2. Donc, être égal, ne signifie pas nécessairement être le même.
Aussi, l’énoncé qui implique le symbole « = » peut être correct ou non. Alors que 1 + 1 = 2 est une affirmation correcte, 1 + 2 = 4 ne l’est pas. Il en va de même pour le symbole « ≠ », non égal. Mais la signification est juste l’inverse de « = ». Alors que 1 + 2 ≠ 4 est une affirmation correcte, 1 + 1 ≠ 2 ne l’est pas.
« = » est utilisé pour poser un problème
Si les expressions A et B ne sont pas constantes, c’est-à-dire si elles contiennent des variables, alors le plus souvent A = B signifie une demande de trouver les valeurs des variables, pour lesquelles A devient égal à B. Par exemple, x + 1 = 4, selon ce que x peut représenter, peut être correct ou non. La demande de résoudre x + 1 = 4 signifie trouver la valeur (ou les valeurs) de x, pour laquelle x + 1 est égal à 4. Dans ce cas particulier, il n’y a qu’une seule valeur de x qui fait le travail, à savoir x = 3.
La terminologie varie. On m’a appris que l’énoncé A = B dans lequel A et B sont des expressions constantes, fixes, s’appelle une égalité ou une identité. S’ils incluent des variables, A = B est appelé une équation. De nos jours, on utilise le terme « équation » dans les deux cas, le premier est dit être une équation constante.
La raison de ce dernier usage, je pense, est qu’en algèbre, une expression constante peut contenir des symboles de type variable pour désigner des nombres génériques. Par exemple, (x + y)² = x² + 2xy + y² est un énoncé qui n’est pas censé être résolu. Elle indique simplement que les deux expressions, (x + y)² à gauche et x² + 2xy + y² à droite, sont égales quelles que soient les valeurs spécifiques de x et de y. Cet usage est similaire à l’énoncé des lois physiques. Par exemple, dans la loi d’Einstein, E = mc², E et m sont des variables, tandis que c est constant.
« = » est utilisé pour définir ou nommer un objet
En algèbre, on peut définir une fonction f(x) = x² + 2x³. Ce n’est ni une affirmation, ni une demande de résolution d’une équation. Il s’agit d’une définition de commodité. Après l’avoir donnée, on peut parler des puissances de la fonction f, de sa dérivée f’, ou de ses itérés f(f(x)), f(f(f(x))), …
En géométrie, autre exemple, on peut introduire le point A = (2, 3) et un autre point B = (-2, 5). Le point médian M = (A + B) /2 = (0, 4) se trouve sur l’axe des y.
Symboles « < » et « > » de comparaison
Certains objets mathématiques peuvent être comparés, par exemple, de deux entiers différents, l’un est plus grand, l’autre plus petit. D’autres objets mathématiques, les nombres complexes par exemple, ne peuvent pas être comparés si l’opération de comparaison est censée posséder certaines propriétés.
Le symbole « > » signifie « plus grand que » ; le symbole « < » signifie « moins grand que ». Par exemple, 2 < 5, 5 > 2. Pour vous rappeler lequel est lequel, observez que les deux symboles ont un côté pointu où il n’y a qu’une seule extrémité, et un côté fendu avec 2 extrémités. Le fait que 1 est inférieur à 2 est exprimé par 1 < 2, ce qui est identique à 2 > 1, c’est-à-dire que 2 est supérieur à 1. Le côté pointu avec une seule extrémité pointe vers la plus petite des deux expressions.
Comme le symbole de l’égalité, les symboles de comparaison, peuvent être utilisés pour faire une déclaration ou pour poser un problème. 2 < 5 est une affirmation correcte. 5 < 2 est une affirmation incorrecte. x + 2 < 5 peut être correcte ou non, selon la valeur de x. On peut vous demander de trouver les valeurs de x pour lesquelles x + 2 < 5. Auquel cas, en ajoutant -2 aux deux côtés de l’inégalité, on obtient x < 3 qui est la solution de x + 2 < 5.
En algèbre, un énoncé peut inclure des variables génériques, comme l’inégalité AM-GM : (x + y) / 2 ≥ √xy, qui est vraie pour tous les x et y positifs.
En passant, le symbole « ≤ » signifie « inférieur ou égal à ». Le (x + y) / 2 ≥ √xy, devient une égalité pour x = y. Par exemple, si x = y = 2, alors (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
De même, √xy = √2-2 = 2. Si x ≠ y, l’inégalité devient « stricte » : (x + y) / 2 > √xy.
L’inégalité -x² > x² n’a pas de solutions parmi les entiers. L’inégalité -x² ≥ x² a une solution : x = 0.
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