A háromszögek tulajdonságait általában a háromszögek részletes tanulmányozására használjuk, de használhatjuk őket két vagy több háromszög összehasonlítására is. A tulajdonságok segítségével nemcsak az egyenlőséget tudjuk meghatározni egy háromszögben, hanem egyenlőtlenségeket is. Lássuk, hogyan!
Suggested Videos
A háromszögek tulajdonságai
A háromszögek háromoldalú zárt alakzatok. Az oldalak és szögek méretétől függően a háromszögek a következő típusokba sorolhatók:
- Egyoldalú háromszögek: Az egyenlő oldalú háromszögnek minden oldala és szöge azonos méretű. Ezt a típusú háromszöget hegyesszögű háromszögnek is nevezik, mivel minden oldala 60°-os mérettel rendelkezik.
- Egyszárnyú háromszög: Az egyenlő szárú háromszög az, amelynek két oldala egyenlő és két szöge egyenlő.
- Skála háromszög: A szkalén háromszögben nincs olyan oldal és szög, amely egyenlő lenne egymással.
A szögektől függően a háromszögek a következő típusokba sorolhatók:
- Átlagos háromszög: Azokat a háromszögeket, amelyeknek minden oldala hegyesszögű egymással, hegyesszögű háromszögnek nevezzük. Az ilyen háromszögtípus legjobb példája az egyenlő oldalú háromszög.
- Tompaszögű háromszög: A tompaszögű háromszög az, amelynek egy tompaszögű oldala van. Az egyenlő szárú háromszögek és a szkalén háromszögek tartoznak a háromszögek ezen kategóriájába.
- Jobbszögű háromszög: Az olyan háromszöget, amelynek egy szöge 90°-kal egyenlő, derékszögű háromszögnek nevezzük.
A háromszög tulajdonságainak vizsgálatakor általában az egyenlő szárú háromszögeket vesszük figyelembe, mivel ez a háromszög az egyenlőség és egyenlőtlenségek keveréke. Mielőtt tovább tanulmányoznánk a háromszögek tulajdonságait, nézzük meg az alábbi ábrát.
A fenti ábrán egy PQR egyenlő szárú háromszög látható. Mit figyelhetsz meg az ábrán? A háromszög két oldala egyenlő. Most egy szögmérő segítségével mérd meg a szögeket is. A szögek mérésekor megfigyelhetjük, hogy ∠Q és ∠R is egyenlő. Ez azt jelenti, hogy minden egyenlő szárú háromszögben az egyenlő oldalakkal szemben lévő szögek is egyenlőek.
Bővebb témakörök a Háromszögek alatt
- Kongruens háromszögek
- Háromszögek hasonlósága
- Háromszögek egyenlőtlenségei
- Pythagorasz-tétel és alkalmazásai
- Az arányosság alapjai A háromszögtétel és az egyenlő metszéspont-tétel
Háromszögek puskatábla PDF letöltése
A háromszögek alábbi tulajdonságai érthetőbbé teszik számodra a fogalmat:
Egy egyenlő szárú háromszög egyenlő oldalaival szemben lévő szögek is egyenlőek
Az XYZ egyenlő szárú háromszögben a háromszög két oldala egyenlő. Az XY=XZ értéket kapjuk. Itt azt kell bizonyítanunk, hogy ∠Y =∠Z. Először rajzoljuk meg a háromszöget úgy, hogy a ∠X felezőpontja egy W pont legyen.
In Δ YXW és Δ ZXW,
XY=XZ (adott)
∠YXW = ∠ZXW (W felezi a ∠X szöget)
XW=XW (közös oldal)
Az oldal-szög-oldal (SAS) szabály szerint tehát; Δ YXW ≅ Δ ZXW
Mint a kongruens háromszögek megfelelő szögei, ∠XYW = ∠XZW
Így ∠Y = ∠Z
Download NCERT Solutions for Class 10 Mathematics
A háromszög egyenlő szögeivel szemben lévő oldalak is egyenlőek
Ez a tulajdonság a fenti tulajdonság fordítottja. Ehhez a háromszög oldalait mérleggel, a szögeket pedig szögmérővel kell megmérnünk. Az oldalak, illetve a szögek mérésekor arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenlő szögekkel szemben lévő oldalak is egyenlőek. A tulajdonság bizonyítására az ASA kongruencia-szabályt használjuk.
megoldott kérdés önnek
Kérdés 1: Az alábbi ábrán egy PQR háromszög látható, amelynek PQ=PR, S és T a QR két olyan pontja, hogy QT=RS. Mutassuk meg, hogy PS=PT.
Válasz : Δ PQS-ben és Δ PRT-ben PQ=PR. Mivel az egyenlő oldalakkal ellentétes szögek egyenlő oldalak ∠Q = ∠R
Ezért QT= RS
Szóval QT-ST = RS-ST
azazaz QS = TR
A SAS kongruencia szabályát alkalmazva arra a következtetésre jutunk, hogyΔ PQS ≅ Δ PRT
Ezért PS = PT
Kérdés2: Mit nevezünk háromszögnek?
Válasz:
Egy háromszöget nevezünk háromszögnek: Az egyenlő oldalú háromszög tulajdonsága, hogy egyenlő oldalai vannak. Továbbá azt a háromszöget, amelynek két oldala egyenlő, egyenlő szárúnak, azt a háromszöget pedig, amelynek minden oldala különböző hosszúságú, szkalénnak nevezzük. Egy háromszög lehet egyszerre derékszögű és egyenlő szárú, ebben az esetben egyenlő szárú derékszögű háromszögnek nevezzük.
Kérdés 3: Hányféle háromszög létezik?
Válasz: Hányféle háromszög létezik? A háromszögek olyan alakzatok, amelyeknek három oldala van. A háromszögek típusainak különböző nevei vannak. Egy háromszög típusa az oldalainak hosszától és a szögeinek (sarkainak) nagyságától függ. Az oldalak hossza alapján háromféle háromszögtípus létezik: egyenlő oldalú, egyenlő szárú és szkalén háromszög.
4. kérdés: Mi az egyedi háromszög?
Válasz: Mi az egyedi háromszög? A két szög és bármelyik oldal feltétele határozza meg az egyedi háromszöget. Mivel a feltételnek két különböző elrendezése van, ezért két feltételre bontjuk: a két szög és a benne lévő oldal feltételére és a két szög és az adott szöggel szemben lévő oldal feltételére.
5. kérdés: Ki találta fel a háromszöget?
Válasz: A háromszöget a két szög és a benne lévő oldal határozza meg: A háromszöget Blaise Pascal találta fel 1653-ban. Bár Blaise Pascalról nevezték el, a háromszögnek már jóval Blaise Pascal születése előtt is voltak nyomai. Úgy tartják, hogy már a perzsák és a kínaiak is használták a számok négyzet- és köbgyökének meghatározására.