Ha A és B két konstans kifejezés, akkor A = B-t írunk, ha egyenlőek, és A ≠ B-t, ha nem egyenlőek. Például bármely N szám vagy kifejezés esetén N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². Másrészt 1 ≠ 2,5. Az olyan kifejezésekkel, mint N = N, nem lehet tévedni, mert nem mondanak sokat. Az egyenlőség “=” jelének, amelyet úgy ejtünk ki, hogy “egyenlő”, más, gyümölcsözőbb felhasználása is van.
Az “=” jelet arra használjuk, hogy kijelentést tegyünk
Az egyenlőség “=” jelét arra használjuk, hogy kijelentsük, hogy két különböző kinézetű kifejezés valójában egyenlő. Például az 1 + 1 nem úgy néz ki, mint a 2, de az 1, 2, + szimbólumok definíciói és a számtani szabályok azt mondják, hogy 1 + 1 = 2. Tehát az, hogy egyenlő, nem feltétlenül jelenti azt, hogy ugyanaz.
Az “=” szimbólumot tartalmazó állítás is lehet helyes, de lehet, hogy nem. Míg az 1 + 1 = 2 helyes állítás, addig az 1 + 2 = 4 nem az. Ugyanez vonatkozik a “≠” szimbólumra is, nem egyenlő. De a jelentése éppen az ellenkezője az “=”-nak. Míg az 1 + 2 ≠ 4 helyes állítás, addig az 1 + 1 ≠ 2 nem.
Az “=” jelet problémafelvetésre használják
Ha az A és B kifejezések nem állandóak, vagyis ha változókat tartalmaznak, akkor az A = B legtöbbször azt a kérést jelenti, hogy keressük meg a változók azon értékeit, amelyekre A egyenlő lesz B-vel. Például az x + 1 = 4, attól függően, hogy x mit jelenthet, lehet helyes, de lehet, hogy nem. Az x + 1 = 4 megoldására vonatkozó kérés azt jelenti, hogy meg kell találni x azon értékét (vagy értékeit), amelyhez x + 1 egyenlő 4. Ebben a konkrét esetben x-nek csak egyetlen olyan értéke van, amely megfelel a feladatnak, nevezetesen x = 3.
A terminológia változik. Nekem azt tanították, hogy az A = B állítást, amelyben A és B állandó, rögzített kifejezések, egyenlőségnek vagy azonosságnak nevezik. Ha változókat is tartalmaznak, akkor A = B-t egyenletnek nevezzük. Manapság mindkét esetben az “egyenlet” kifejezést használják, az előbbit konstans egyenletnek mondják.
Az utóbbi használat oka szerintem az, hogy az algebrában egy konstans kifejezés tartalmazhat változószerű szimbólumokat általános számok jelölésére. Például az (x + y)² = x² + 2xy + y² olyan állítás, amelyet nem szabad megoldani. Egyszerűen azt mondja ki, hogy a két kifejezés, a bal oldali (x + y)² és a jobb oldali x² + 2xy + y² egyenlő, függetlenül x és y konkrét értékeitől. Ez a használat hasonló a fizikai törvények kijelentéséhez. Például Einstein törvényében, E = mc², E és m változók, míg c állandó.
“=” egy objektum definiálására vagy megnevezésére használják
Az algebrában definiálhatunk egy f(x) = x² + 2x³ függvényt. Ez nem egy állítás, és nem is egy egyenlet megoldására való felszólítás. Ez egy kényelmi definíció. Miután megadtuk, beszélhetünk az f függvény hatványairól, deriváltjáról f’, vagy iterátumairól f(f(x)), f(f(f(f(x))), …
A geometriában, egy másik példaként, bevezethetjük az A = (2, 3) pontot és egy másik B = (-2, 5) pontot. Az M = (A + B)/2 = (0, 4) középpont az y-tengelyen fekszik.
Az összehasonlítás “<” és “>” szimbólumai
Egyes matematikai objektumok összehasonlíthatók, pl. két különböző egész szám közül az egyik nagyobb, a másik kisebb. Más matematikai objektumok, például a komplex számok, nem hasonlíthatók össze, ha az összehasonlítás műveletétől bizonyos tulajdonságokat várunk el.
A “>” szimbólum jelentése “nagyobb, mint”; a “<” szimbólum jelentése “kisebb, mint”. Például: 2 < 5, 5 > 2. Hogy megjegyezd, melyik melyik, figyeld meg, hogy mindkét szimbólumnak van egy hegyes oldala, ahol csak egy vége van, és egy osztott oldala, ahol 2 vége van. Azt, hogy 1 kisebb, mint 2, úgy fejezzük ki, hogy 1 < 2, ami ugyanaz, mint 2 > 1, azaz, hogy 2 nagyobb, mint 1. Az egyetlen végponttal rendelkező hegyes vég a két kifejezés közül a kisebbikre mutat.
Az egyenlőség szimbólumához hasonlóan az összehasonlítás szimbólumait is használhatjuk állítás vagy probléma felvetésére. 2 < Az 5 helyes állítás. 5 < 2 helytelen állítás. x + 2 < 5 lehet helyes vagy helytelen, attól függően, hogy milyen értékű az x. Meg lehet kérni, hogy találd meg az x azon értékeit, amelyek esetén x + 2 < 5 . Ebben az esetben az egyenlőtlenség mindkét oldalához -2-t hozzáadva x < 3-t kapunk, ami az x + 2 < 5 megoldása.
Az algebrában egy állítás tartalmazhat általános változókat, mint például az AM-GM egyenlőtlenség: (x + y) / 2 ≥ √xy, amely minden pozitív x-re és y-ra igaz.
Az “≤” szimbólum egyébként azt jelenti, hogy “kisebb vagy egyenlő”. Az (x + y) / 2 ≥ √xy, egyenlőséggé válik x = y esetén. Például, ha x = y = 2, akkor (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
Továbbá √xy = √2-2 = 2. Ha x ≠ y, akkor az egyenlőtlenség “szigorú” lesz: (x + y) / 2 > √xy.
Az -x² > x² egyenlőtlenségnek egész számok között nincs megoldása. Az -x² ≥ x² egyenlőtlenségnek egy megoldása van: x = 0.
Kapcsolódó anyagBővebben…
|Kapcsolat|||Front page|||Tartalom||Aritmetika|