Se A e B sono due espressioni costanti, si scrive A = B se sono uguali, e A ≠ B, se non lo sono. Per esempio, per qualsiasi numero o espressione N, N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². D’altra parte, 1 ≠ 2,5. Non si può sbagliare con espressioni come N = N perché non dicono molto. Il segno “=” di uguaglianza che si pronuncia “uguale a” ha altri usi più fruttuosi.
“=” si usa per fare un’affermazione
Il simbolo di uguaglianza “=” si usa per fare un’affermazione che due espressioni di aspetto diverso sono in effetti uguali. Per esempio, 1 + 1 non assomiglia a 2 ma le definizioni dei simboli 1, 2, +, e le regole dell’aritmetica ci dicono che 1 + 1 = 2. Quindi, essere uguali, non significa necessariamente essere uguali.
Anche l’affermazione che coinvolge il simbolo “=” può essere corretta o meno. Mentre 1 + 1 = 2 è un’affermazione corretta, 1 + 2 = 4 non lo è. Lo stesso vale per il simbolo “≠”, non uguale. Ma il significato è proprio l’opposto di “=”. Mentre 1 + 2 ≠ 4 è un’affermazione corretta, 1 + 1 ≠ 2 non lo è.
“=” è usato per porre un problema
Se le espressioni A e B non sono costanti, cioè, se contengono variabili, allora molto spesso A = B significa una richiesta di trovare i valori delle variabili, per cui A diventa uguale a B. Per esempio, x + 1 = 4, a seconda di ciò che x può rappresentare, può essere corretto o meno. La richiesta di risolvere x + 1 = 4 significa trovare il valore (o i valori) di x per cui x + 1 è uguale a 4. In questo caso particolare, c’è solo un valore di x che fa il lavoro, cioè x = 3.
La terminologia varia. Mi è stato insegnato che l’affermazione A = B in cui A e B sono espressioni costanti e fisse, si chiama uguaglianza o identità. Se includono variabili, A = B si chiama equazione. Al giorno d’oggi, si usa il termine “equazione” in entrambi i casi, il primo è detto essere un’equazione costante.
La ragione per l’uso successivo penso sia che in algebra un’espressione costante può contenere simboli simili a variabili per indicare numeri generici. Per esempio, (x + y)² = x² + 2xy + y² è un’affermazione che non deve essere risolta. Dice semplicemente che le due espressioni, (x + y)² a sinistra, e x² + 2xy + y² a destra sono uguali indipendentemente dai valori specifici di x e y. Questo uso è simile all’affermazione delle leggi fisiche. Per esempio, nella legge di Einstein, E = mc², E e m sono variabili, mentre c è costante.
“=” è usato per definire o nominare un oggetto
In algebra, si può definire una funzione f(x) = x² + 2x³. Questo non è né un’affermazione, né una richiesta di risolvere un’equazione. È una definizione di convenienza. Dopo averla data, si può parlare delle potenze della funzione f, della sua derivata f’, o delle sue iterate f(f(x)), f(f(f(x)), …
In geometria, come altro esempio, si può introdurre un punto A = (2, 3) e un altro punto B = (-2, 5). Il punto medio M = (A + B) /2 = (0, 4) si trova sull’asse y.
Simboli “<” e “>” di confronto
Alcuni oggetti matematici possono essere confrontati, per esempio, di due numeri interi diversi uno è maggiore, l’altro minore. Altri oggetti matematici, i numeri complessi per esempio, non possono essere confrontati se l’operazione di confronto deve possedere certe proprietà.
Il simbolo “>” significa “maggiore di”; il simbolo “<” significa “minore di”. Per esempio, 2 < 5, 5 > 2. Per ricordare qual è, osservate che entrambi i simboli hanno un lato appuntito dove c’è una sola estremità, e un lato diviso con 2 estremità. Il fatto che 1 è minore di 2 è espresso come 1 < 2, che è lo stesso di 2 > 1, cioè che 2 è maggiore di 1. L’estremità appuntita con un solo estremo indica la più piccola delle due espressioni.
Come il simbolo di uguaglianza, i simboli di confronto possono essere usati per fare una dichiarazione o per porre un problema. 2 < 5 è un’affermazione corretta. 5 < 2 è un’affermazione errata. x + 2 < 5 può essere corretto o no, a seconda del valore di x. Ti può essere chiesto di trovare quei valori di x per cui x + 2 < 5. In tal caso, aggiungendo -2 a entrambi i lati della disuguaglianza si ottiene x < 3 che è la soluzione di x + 2 < 5.
In algebra, un enunciato può includere variabili generiche, come la disuguaglianza AM-GM: (x + y) / 2 ≥ √xy, che è vera per tutte le x e y positive.
A proposito, il simbolo “≤” significa “meno di o uguale a”. Il (x + y) / 2 ≥ √xy, diventa uguaglianza per x = y. Per esempio, se x = y = 2, allora (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
Inoltre, √xy = √2-2 = 2. Se x ≠ y, la disuguaglianza diventa “stretta”: (x + y) / 2 > √xy.
La disuguaglianza -x² > x² non ha soluzioni tra interi. La disuguaglianza -x² ≥ x² ha una soluzione: x = 0.
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