A と B が二つの定数式の場合、等しければ A = B、等しくなければ A≠B と書きます。 たとえば、任意の数または式Nについて、N＝N、1＝1、2.5＝2.5、x＋y²＝x＋y²となる。 一方、1≠2.5である。 N＝Nのような表現は、多くを語らないので、間違うことはないでしょう。 6575>
“=” is used to make a statement
等式の記号”=”は、二つの異なった外観の式が実際に等しいことを表明するのに使われる。 例えば、1＋1は2には見えませんが、1、2、＋という記号の定義と算数の規則から、1＋1＝2であることがわかります。 6575>
また、記号「=」を含む文は、正しい場合もあれば、そうでない場合もある。 1 + 1 = 2 は正しい文であるが、1 + 2 = 4 は正しくない。 記号「≠」についても同様で、イコールではありません。 しかし、意味は「=」とちょうど逆です。 6575>
“=”は問題を提起するために使われる
式AとBが一定でない場合、つまり変数を含む場合、多くの場合A = Bは、AがBと等しくなる変数の値を求めよということです。 x + 1 = 4 を解けというのは、x + 1 が 4 になるような x の値（または複数の値）を見つけろということです。この特定のケースでは、その仕事をする x の値はただ一つ、x = 3 です。 私が教わったのは、A = B という文で、A と B が定数、固定式である場合は、等式または恒等式と呼ばれることです。 変数を含む場合は、A＝Bを方程式と呼ぶそうです。 現在では、どちらの場合も「方程式」という言葉を使いますが、前者は定数式と言われています。
後者の使い方の理由は、代数学では定数式に変数のような記号を含んで、一般数を表す場合があるからだと思います。 例えば、(x + y)² = x² + 2xy + y² は、解くことを想定していない文である。 これは、左側の(x + y)²と右側のx² + 2xy + y²の2つの式が、xとyの特定の値に関係なく等しいことを単に述べています。この使用法は、物理法則の記述に似ています。 例えば、アインシュタインの法則、E = mc² では、E と m は変数で、c は定数である。
“=” はオブジェクトを定義したり、名前を付けるのに使われる
代数では、関数 f(x) = x² + 2x³ を定義できる。 これはステートメントでもなければ、方程式を解くことを要求しているのでもない。 これは便宜的な定義である。 これが与えられた後、関数 f の累乗、微分 f’、反復 f(f(x)), f(f(x)), …について話すことができる。
幾何学では、別の例として、点 A = (2, 3) と別の点 B = (-2, 5) を紹介できる。 中点 M = (A + B) /2 = (0, 4) はy軸上にある。
比較の記号 “<” と “>”
いくつかの数学オブジェクトは、例えば、二つの異なる整数が一方は大きく、他方は小さいというように比較できる。 6575>
シンボル”>”は “より大きい”、シンボル”<“は “より小さい “という意味である。 例えば、2 < 5、5 > 2のように。 どちらの記号も、端が1つだけの尖った面と、端が2つある割れた面を持っていることに注目すると、どちらか一方を覚えることができる。 1が2より小さいということは、1 < 2と表現されますが、これは2 > 1と同じ、つまり2が1より大きいということを表しています。 2 < 5 は正しい文である。 5 < 2 は正しくない。 x + 2 < 5 が正しいかどうかは、x の値によって決まる。x + 2 < 5 となる x の値を求めよと言われることがある。 その場合、不等式の両辺に-2を足すとx < 3となり、これがx + 2 < 5の解となります。
代数では、AM-GB不等式のように一般変数を含んだ文になることがあります。 (x + y) / 2 ≥ √xy, これはすべての正のxとyに対して真である。
ところで、記号「≦」は「～以下」という意味である。 例えば、x＝y＝2のとき、（x＋y）／2＝（2＋2）／2＝2.
また、√xy＝√2-2＝2です。 (x + y) / 2 > √xy。
不等式 -x² > x² は整数の中では解がない。 不等式 -x² ≧ x²は解が1つ：x＝0.
関連資料続きを読む…
|コンタクト|フロントページ|目次|算数|
。