Computus

Gregoriaanse kalenderEdit

Omdat de hervorming van de computus de belangrijkste motivatie was voor de invoering van de Gregoriaanse kalender in 1582, werd naast de kalender ook een bijbehorende computusmethodiek ingevoerd. De algemene werkwijze werd door Clavius gegeven in de Zes Canons (1582), en een volledige uitleg volgde in zijn Explicatio (1603).

Paaszondag is de zondag volgend op de paasdatum van volle maan. De paasvollemaansdatum is de kerkelijke vollemaansdatum op of na 21 maart. De Gregoriaanse methode leidt paasvollemaansdata af door voor elk jaar de epact te bepalen. De epact kan een waarde hebben van * (0 of 30) tot 29 dagen. Theoretisch begint een maanmaand (epact 0) met de nieuwe maan, en is de maansikkel voor het eerst zichtbaar op de eerste dag van de maand (epact 1). De 14e dag van de maanmaand wordt beschouwd als de dag van de volle maan.

Historisch werd de paasdatum van de volle maan voor een jaar gevonden uit zijn volgnummer in de Metonische cyclus, het zogenaamde gulden getal, welke cyclus de maanfase elke 19 jaar 1 januari herhaalt. Deze methode werd verlaten bij de Gregoriaanse hervorming omdat de data in tabelvorm na ongeveer twee eeuwen uit de pas lopen met de werkelijkheid, maar uit de epact methode kan een vereenvoudigde tabel worden geconstrueerd die een geldigheid heeft van een tot drie eeuwen.

De epacten voor de huidige Metonische cyclus, die in 2014 begon, zijn:

De bovenstaande tabel is geldig van 1900 tot en met 2199. Als gebruiksvoorbeeld: het gulden getal voor 2038 is 6 (2038 ÷ 19 = 107 rest 5, dan +1 = 6). Uit de tabel is paschal volle maan voor gulden getal 6 18 april. Uit weektabel is 18 april zondag. Paaszondag is de zondag daarop, 25 april.

De epacten worden gebruikt om de data van de nieuwe maan op de volgende manier te vinden: Noteer een tabel van alle 365 dagen van het jaar (de schrikkeldag wordt genegeerd). Label vervolgens alle data met een Romeins cijfer dat naar beneden telt, van “*” (0 of 30), “xxix” (29), tot “i” (1), te beginnen bij 1 januari, en herhaal dit tot het eind van het jaar. Tel echter in elke tweede dergelijke periode slechts 29 dagen en label de datum met xxv (25) ook met xxiv (24). Behandel derhalve de 13e periode (laatste elf dagen) als lang, en ken de etiketten “xxv” en “xxiv” toe aan opeenvolgende data (respectievelijk 26 en 27 december). Voeg tenslotte het label “25” toe aan de data met “xxv” in de perioden van 30 dagen; maar in perioden van 29 dagen (die “xxiv” samen met “xxv” hebben) voeg het label “25” toe aan de datum met “xxvi”. De verdeling van de lengte van de maanden en de lengte van de epact cycli is zodanig dat elke civiele kalendermaand begint en eindigt met hetzelfde epact label, behalve februari en voor de epact labels “xxv” en “25” in juli en augustus. Deze tabel wordt het calendarium genoemd. De kerkelijke nieuwe manen voor een jaar zijn de data waarop de epact voor dat jaar is ingevoerd. Als de epact voor het jaar bijvoorbeeld 27 is, dan is er een kerkelijke nieuwe maan op elke datum in dat jaar die het epact label “xxvii” (27) heeft.

Eriketteer ook alle data in de tabel met de letters “A” tot en met “G”, te beginnen bij 1 januari, en herhaal dit tot het einde van het jaar. Als bijvoorbeeld de eerste zondag van het jaar op 5 januari valt, die letter “E” heeft, dan is elke datum met de letter “E” dat jaar een zondag. Dan wordt “E” de dominische letter voor dat jaar genoemd (uit het Latijn: dies domini, dag van de Heer). De dominicale letter gaat elk jaar één positie terug. In schrikkeljaren na 24 februari vallen de zondagen echter op de vorige letter van de cyclus, zodat schrikkeljaren twee dominische letters hebben: de eerste voor, de tweede voor na de schrikkeldag.

In de praktijk hoeft dit, voor de berekening van Pasen, niet voor alle 365 dagen van het jaar te gebeuren. Voor de epacten komt maart precies hetzelfde uit als januari, zodat men januari of februari niet hoeft te berekenen. Om ook de Dominicaanse Letters voor januari en februari niet te hoeven berekenen, begint u met D voor 1 maart. Je hebt de epacten alleen nodig van 8 maart tot 5 april. Dit levert de volgende tabel op:

Een tabel uit Zweden om de datum van Pasen 1140-1671 te berekenen volgens de Juliaanse kalender. Let op het runenschrift.

Chronologisch diagram van de datum van Pasen voor 600 jaar, vanaf de Gregoriaanse kalenderhervorming tot het jaar 2200 (door Camille Flammarion, 1907)

Voorbeeld: Als de epact 27 (xxvii) is, valt een kerkelijke nieuwe maan op elke datum met het label xxvii. De kerkelijke volle maan valt 13 dagen later. Uit bovenstaande tabel geeft dit een nieuwe maan op 4 maart en 3 april, en dus een volle maan op 17 maart en 16 april.

Dan is eerste Paasdag de eerste zondag na de eerste kerkelijke volle maan op of na 21 maart. In deze definitie wordt “op of na 21 maart” gebruikt om onduidelijkheid te voorkomen met de historische betekenis van het woord “na”. In modern taalgebruik betekent deze uitdrukking eenvoudigweg “na 20 maart”. De definitie van “op of na 21 maart” wordt in gepubliceerde en op het web gebaseerde artikelen vaak ten onrechte afgekort tot “na 21 maart”, hetgeen resulteert in onjuiste Paasdata.

In het voorbeeld valt deze Paasvollemaan op 16 april. Als de dominische letter E is, dan valt Paasdag op 20 april.

Het etiket “25” (in tegenstelling tot “xxv”) wordt als volgt gebruikt: Binnen een Metonische cyclus hebben jaren die 11 jaar uit elkaar liggen epacten die één dag verschillen. Een maand die begint op een datum met de labels xxiv en xxv samen, heeft ofwel 29 ofwel 30 dagen. Als de epacts 24 en 25 beide binnen één Metonische cyclus vallen, dan zouden de nieuwe (en volle) manen op dezelfde data vallen voor deze twee jaren. Dit is mogelijk voor de echte maan maar is onelegant in een schematische maankalender; de data zouden zich pas na 19 jaar moeten herhalen. Om dit te vermijden valt in jaren met de tekens 25 en met een Gulden Getal groter dan 11 de gerekende nieuwe maan op de datum met het label 25 in plaats van xxv. Waar de labels 25 en xxv samen zijn, is er geen probleem omdat ze hetzelfde zijn. Dit verplaatst het probleem niet naar het paar “25” en “xxvi”, want het vroegste epact 26 zou kunnen verschijnen in jaar 23 van de cyclus, die slechts 19 jaar duurt: er is een saltus lunae tussen die de nieuwe manen op aparte data doet vallen.

De Gregoriaanse kalender heeft een correctie op het tropische jaar door drie schrikkeldagen in 400 jaar te laten vallen (altijd in een eeuwjaar). Dit is een correctie op de lengte van het tropische jaar, maar zou geen effect moeten hebben op de Metonische relatie tussen jaren en lunaties. Daarom wordt dit (gedeeltelijk – zie epact) gecompenseerd door er in deze eeuwjaren één van af te trekken. Dit is de zogenaamde zonnecorrectie of “zonnevergelijking” (“vergelijking” wordt gebruikt in zijn middeleeuwse betekenis van “correctie”).

Nog steeds zijn 19 ongecorrigeerde Juliaanse jaren iets langer dan 235 lunaties. Het verschil loopt op tot één dag in ongeveer 310 jaar. Daarom wordt in de Gregoriaanse kalender de epact gecorrigeerd door er acht maal in 2500 (Gregoriaanse) jaren 1 bij op te tellen, steeds in een eeuwjaar: dit is de zogenaamde maancorrectie (historisch “maancorrectie” genoemd). De eerste werd toegepast in 1800, de volgende in 2100, en zal elke 300 jaar worden toegepast, behalve een interval van 400 jaar tussen 3900 en 4300, waarmee een nieuwe cyclus begint.

De zonne- en maancorrecties werken in tegengestelde richting, en in sommige eeuwjaren (bijvoorbeeld 1800 en 2100) heffen ze elkaar op. Het resultaat is dat de Gregoriaanse maankalender een epacttabel gebruikt die geldig is voor een periode van 100 tot 300 jaar. De bovenstaande epacttabel is geldig voor de periode 1900 tot 2199.

DetailsEdit

Deze berekeningsmethode heeft verschillende subtiliteiten:

Elke andere maanmaand heeft slechts 29 dagen, dus aan één dag moeten twee (van de 30) epactlabels worden toegekend. De reden om het epact label “xxv/25” te verplaatsen in plaats van een ander lijkt de volgende te zijn: Volgens Dionysius (in zijn inleidende brief aan Petronius) stelde het concilie van Nicea op gezag van Eusebius vast dat de eerste maand van het kerkelijk maanjaar (de Paasmaand) moest beginnen tussen 8 maart en 5 april, en de 14e dag tussen 21 maart en 18 april moest vallen, dus over een periode van (slechts) 29 dagen. Een nieuwe maan op 7 maart, die het epact label “xxiv” heeft, heeft zijn 14e dag (volle maan) op 20 maart, wat te vroeg is (niet volgend op 20 maart). Dus jaren met een epact van “xxiv”, als de maanmaand beginnend op 7 maart 30 dagen had, zouden hun Paasmaan op 6 april hebben, wat te laat is: De volle maan zou op 19 april vallen, en Pasen zou pas op 26 april kunnen vallen. In de Juliaanse kalender was de uiterste datum van Pasen 25 april, en de Gregoriaanse hervorming handhaafde die limiet. De Paasvollemaan mag dus niet later vallen dan 18 april en de nieuwe maan op 5 april, die het epact label “xxv” heeft. 5 april moet dus zijn dubbele epact labels “xxiv” en “xxv” hebben. Dan moet epact “xxv” anders behandeld worden, zoals uitgelegd in de alinea hierboven.

Dientengevolge is 19 april de datum waarop Pasen het vaakst valt in de Gregoriaanse kalender: In ongeveer 3,87% van de jaren. 22 maart komt het minst vaak voor, met 0,48%.

Verdeling van de datum van Pasen voor de volledige 5.700.000 jaar cyclus

De relatie tussen maan- en zonnekalender data is onafhankelijk gemaakt van het schrikkeldag schema voor het zonnejaar. In principe gebruikt de Gregoriaanse kalender nog steeds de Juliaanse kalender met elke vier jaar een schrikkeldag, dus een Metonische cyclus van 19 jaar heeft 6.940 of 6.939 dagen met vijf of vier schrikkeldagen. Nu telt de maancyclus slechts 19 × 354 + 19 × 11 = 6.935 dagen. Door de schrikkeldag niet met een epact getal te labelen en te tellen, maar de volgende nieuwe maan op dezelfde kalenderdatum te laten vallen als zonder de schrikkeldag, wordt de huidige lunatie met een dag verlengd, en beslaan de 235 lunaties evenveel dagen als de 19 jaren. De last van het synchroniseren van de kalender met de maan (nauwkeurigheid op middellange termijn) wordt dus verlegd naar de zonnekalender, die elk geschikt intercalatieschema mag gebruiken; dit alles onder de aanname dat 19 zonnejaren = 235 lunaties (onnauwkeurigheid op lange termijn). Een gevolg is dat de berekende leeftijd van de maan er een dag naast kan zitten, en ook dat de lunaties die de schrikkeldag bevatten 31 dagen lang kunnen zijn, wat nooit zou gebeuren als de echte maan gevolgd zou worden (kortetermijnonnauwkeurigheden). Dit is de prijs voor een regelmatige aanpassing aan de zonnekalender.

Vanuit het perspectief van hen die misschien de Gregoriaanse Paascyclus willen gebruiken als kalender voor het hele jaar, zijn er enkele gebreken in de Gregoriaanse maankalender (hoewel ze geen invloed hebben op de paasmaand en de datum van Pasen):

1. Lunaties van 31 (en soms 28) dagen komen voor.
2. Als een jaar met het Gulden Getal 19 toevallig epact 19 heeft, dan valt de laatste kerkelijke nieuwe maan op 2 december; de volgende zou op 1 januari vallen. Echter, aan het begin van het nieuwe jaar verhoogt een saltus lunae de epact met nog een eenheid, en de nieuwe maan had op de vorige dag moeten vallen. Een nieuwe maan wordt dus gemist. Het calendarium van het Missale Romanum houdt hier rekening mee door aan 31 december van zo’n jaar het epact label “19” toe te kennen in plaats van “xx”, waardoor die datum de nieuwe maan wordt. Dat gebeurde elke 19 jaar toen de oorspronkelijke gregoriaanse epactentabel van kracht was (voor het laatst in 1690), en gebeurt voor het eerst in 8511.
3. Als de epact van een jaar 20 is, valt een kerkelijke nieuwe maan op 31 december. Als dat jaar voor een eeuwjaar valt, dan wordt in de meeste gevallen door een zonnecorrectie de epact voor het nieuwe jaar met één verminderd: De resulterende epact “*” betekent dat op 1 januari weer een kerkelijke nieuwe maan wordt geteld. Formeel is er dus een lunatie van één dag voorbij. Dit volgende gebeurt in 4199-4200.
4. Andere grensgevallen komen (veel) later voor, en als de regels strikt worden gevolgd en deze gevallen niet speciaal worden behandeld, dan leveren zij opeenvolgende nieuwe maan data op die 1, 28, 59, of (zeer zelden) 58 dagen uit elkaar liggen.

Een zorgvuldige analyse toont aan dat door de manier waarop ze in de Gregoriaanse kalender worden gebruikt en gecorrigeerd, de epacten eigenlijk fracties van een lunatie zijn (1/30, ook wel tithi genoemd) en geen volledige dagen. Zie epact voor een bespreking.

De zonne- en maancorrecties herhalen zich na 4 × 25 = 100 eeuwen. In die periode is de epact veranderd met een totaal van -1 × 3/4 × 100 + 1 × 8/25 × 100 = -43 ≡ 17 mod 30. Dit is priem tot de 30 mogelijke epacten, dus duurt het 100 × 30 = 3.000 eeuwen voordat de epacten zich herhalen; en 3.000 × 19 = 57.000 eeuwen voordat de epacten zich herhalen op hetzelfde gulden getal. Deze periode heeft 5.700.000/19 × 235 – 43/30 × 57.000/100 = 70.499.183 lunaties. De Gregoriaanse paasdata herhalen zich dus pas na 5.700.000 jaar, 70.499.183 lunaties, ofwel 2.081.882.250 dagen, in precies dezelfde volgorde; de gemiddelde lunatieduur is dan 29,53058690 dagen. De kalender moet echter al na enkele millennia zijn aangepast vanwege veranderingen in de lengte van het tropische jaar, de synodische maand, en de dag.

Grafieken van de data van Westerse (katholieke) en Oosterse (orthodoxe) Paaszondag vergeleken met de maartnachtevening en volle manen van 1950 tot 2050 op de Gregoriaanse kalender

Dit roept de vraag op waarom de Gregoriaanse maankalender aparte zon- en maancorrecties heeft, die elkaar soms opheffen. Lilius’ oorspronkelijke werk is niet bewaard gebleven, maar zijn voorstel werd beschreven in het Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium dat in 1577 in omloop werd gebracht, en waarin werd uitgelegd dat het door hem bedachte correctiesysteem een perfect flexibel instrument moest zijn in de handen van toekomstige kalenderhervormers, omdat de zon- en maankalender voortaan zonder onderlinge interferentie konden worden gecorrigeerd. Een voorbeeld van deze flexibiliteit werd geboden door een alternatieve intercalatievolgorde die was afgeleid van de theorieën van Copernicus, samen met de bijbehorende epactcorrecties.

De “zonnecorrecties” maken het effect van de Gregoriaanse wijzigingen van de schrikkeldagen van de zonnekalender op de maankalender ongeveer ongedaan: ze brengen de epactcyclus (gedeeltelijk) terug naar de oorspronkelijke Metonische relatie tussen het Juliaanse jaar en de maanmaand. De inherente wanverhouding tussen zon en maan in deze basiscyclus van 19 jaar wordt dan om de drie of vier eeuwen gecorrigeerd door de “maancorrectie” op de epacten. De epactcorrecties vinden echter plaats aan het begin van Gregoriaanse eeuwen, niet van Juliaanse eeuwen, en daarom wordt de oorspronkelijke Juliaanse Metonische cyclus niet volledig hersteld.

Hoewel de netto 4 × 8 – 3 × 25 = 43 epactaftrekken gelijkmatig over 10.000 jaar verdeeld zouden kunnen worden (zoals bijvoorbeeld is voorgesteld door Dr. Heiner Lichtenberg).Maar als de correcties worden gecombineerd, dan worden ook de onnauwkeurigheden van de twee cycli opgeteld en kunnen niet afzonderlijk worden gecorrigeerd.

De verhoudingen van (gemiddelde zonne-) dagen per jaar en dagen per lunatie veranderen zowel door intrinsieke lange-termijn variaties in de banen, als doordat de rotatie van de Aarde vertraagt door getijde-vertraging, zodat de Gregoriaanse parameters steeds meer verouderd raken.

Dit heeft wel invloed op de datum van de equinox, maar het toeval wil dat het interval tussen noordwaartse (noordelijk halfrond lente) equinoxen in de loop van de geschiedenis tamelijk stabiel is geweest, vooral als het gemeten wordt in middelbare zonnetijd (zie, met name.)

Ook de afwijking in kerkelijke volle manen berekend volgens de Gregoriaanse methode ten opzichte van de ware volle manen wordt minder beïnvloed dan men zou verwachten, omdat de toename in de lengte van de dag bijna precies wordt gecompenseerd door de toename in de lengte van de maand, doordat getijdenremming impulsmoment van de draaiing van de Aarde overbrengt op impulsmoment van de Maan.

De Ptolemeïsche waarde van de lengte van de gemiddelde synodische maand, rond de 4e eeuw v. Chr. door de Babyloniërs vastgesteld, is 29 dagen 12 uur 44 min 3+1/3 s (zie Kidinnu); de huidige waarde is 0,46 s korter (zie Nieuwe maan). In dezelfde historische tijdspanne is de lengte van het gemiddelde tropische jaar met ongeveer 10 s afgenomen (alle waarden betekenen zonnetijd).

British Calendar Act and Book of Common PrayerEdit

Het gedeelte van de tabelmethoden hierboven beschrijft de historische argumenten en methoden volgens welke de huidige data van Paaszondag in de late 16e eeuw door de Katholieke Kerk werden vastgesteld. In Engeland, waar de Juliaanse kalender toen nog in gebruik was, werd Paaszondag van 1662 tot 1752 (in overeenstemming met de vroegere praktijk) bepaald door een eenvoudige tabel met data in het Anglicaanse Gebedenboek (vastgesteld bij de Act of Uniformity 1662). De tabel werd rechtstreeks geïndexeerd door het gulden getal en de zondagsletter, die (in het Paasgedeelte van het boek) werden verondersteld reeds bekend te zijn.

Voor het Britse Rijk en de koloniën werd de nieuwe bepaling van de datum van Paaszondag vastgelegd in wat nu de Calendar (New Style) Act 1750 met zijn Annexe wordt genoemd. De methode werd gekozen om data te geven die overeenkwamen met de Gregoriaanse regel die elders al in gebruik was. De Act eiste dat het in het Book of Common Prayer zou worden opgenomen, en daarom is het de algemene Anglicaanse regel. De oorspronkelijke wet is te vinden in de Britse Statutes at Large 1765. De bijlage bij de wet bevat de definitie: “Paasdag (waarvan de rest afhangt) is altijd de eerste zondag na de Volle Maan, die valt op, of volgt op de Eenentwintigste Dag van Maart. En als de volle maan op een zondag valt, is Paasdag de zondag erna. De Annexe gebruikt vervolgens de termen “Paasvolle Maan” en “Kerkelijke Volle Maan”, waarmee duidelijk wordt gemaakt dat zij de werkelijke volle maan benaderen.

De methode verschilt nogal van die welke hierboven is beschreven in de Gregoriaanse kalender. Voor een algemeen jaar bepaalt men eerst het gulden getal, dan gebruikt men drie tabellen om de zondagsletter, een “cypher”, en de datum van de paasvollemaan te bepalen, waaruit de datum van Paaszondag volgt. Het epos wordt niet expliciet vermeld. Eenvoudiger tabellen kunnen worden gebruikt voor beperkte perioden (zoals 1900-2199) gedurende welke de cypher (die het effect van de zonne- en maancorrecties weergeeft) niet verandert. Clavius’ details werden gebruikt bij de constructie van de methode, maar ze spelen geen rol meer bij het gebruik ervan.

J. R. Stockton toont zijn afleiding van een efficiënt computeralgoritme dat herleidbaar is tot de tabellen in het Gebedenboek en de Kalenderwet (ervan uitgaande dat een beschrijving van het gebruik van de Tabellen voorhanden is), en verifieert de processen ervan door het berekenen van overeenkomende Tabellen.

Juliaanse kalenderEdit

Verdeling van de datum van Pasen in de meeste oosterse kerken 1900-2099 vs westerse paasverdeling

De methode voor het berekenen van de datum van de kerkelijke volle maan die standaard was voor de westerse kerk vóór de Gregoriaanse kalenderhervorming, en tegenwoordig nog steeds door de meeste oosterse christenen wordt gebruikt, maakte gebruik van een ongecorrigeerde herhaling van de 19-jarige Metonische cyclus in combinatie met de Juliaanse kalender. Wat betreft de hierboven besproken methode van de epacten, werd in feite een enkele epactentabel gebruikt die begon met een epact van 0, die nooit werd gecorrigeerd. In dit geval werd de epact geteld op 22 maart, de vroegst aanvaardbare datum voor Pasen. Dit herhaalt zich elke 19 jaar, zodat er slechts 19 mogelijke data voor de Paasvollemaan zijn van 21 maart tot en met 18 april.

Omdat er geen correcties zijn zoals wel voor de Gregoriaanse kalender, wijkt de kerkelijke volle maan elk millennium meer dan drie dagen af van de ware volle maan. Het is al een paar dagen later. Als gevolg daarvan vieren de oosterse kerken Pasen ongeveer 50% van de tijd een week later dan de westerse kerken. (Het oosterse Pasen is soms vier of vijf weken later omdat de Juliaanse kalender in 1900-2099 13 dagen achterloopt op de Gregoriaanse, en de Gregoriaanse Paasvollemaan dus soms voor Juliaanse 21 maart valt.)

Het volgnummer van een jaar in de 19-jarige cyclus wordt het gulden getal ervan genoemd. Deze term werd voor het eerst gebruikt in het computistische gedicht Massa Compoti van Alexander de Villa Dei in 1200. Een latere scribent voegde het gulden getal toe aan tabellen die oorspronkelijk waren samengesteld door Abbo van Fleury in 988.

De bewering van de Katholieke Kerk in de pauselijke bul Inter gravissimas van 1582, die de Gregoriaanse kalender afkondigde, dat zij “de viering van Pasen herstelde volgens de regels vastgesteld door …. het grote oecumenische concilie van Nicaea” was gebaseerd op een valse bewering van Dionysius Exiguus (525) dat “wij de datum van Paasdag bepalen … overeenkomstig het voorstel dat door de 318 kerkvaders op het concilie van Nicaea is overeengekomen”. Het Eerste Concilie van Nicaea (325) gaf echter geen expliciete regels om die datum te bepalen, maar schreef alleen “al onze broeders in het Oosten die voorheen de gewoonte van de Joden volgden, moeten voortaan het genoemde allerheiligste Paasfeest op dezelfde tijd vieren als de Romeinen en uzelf en allen die Pasen vanaf het begin in acht hebben genomen”. De middeleeuwse computus was gebaseerd op de Alexandrijnse computus, die in het eerste decennium van de vierde eeuw door de Kerk van Alexandrië was ontwikkeld met gebruikmaking van de Alexandrijnse kalender:36 Het Oost-Romeinse Rijk aanvaardde hem kort na 380 na de omzetting van de computus naar de Juliaanse kalender:48 Rome aanvaardde hem ergens tussen de zesde en de negende eeuw. De Britse eilanden accepteerden de kalender in de achtste eeuw, met uitzondering van een paar kloosters. Francia (heel West-Europa behalve Scandinavië (heidens), de Britse eilanden, het Iberisch schiereiland en Zuid-Italië) aanvaardde hem in het laatste kwart van de achtste eeuw. Het laatste Keltische klooster dat Pasen aanvaardde, Iona, deed dit in 716, terwijl het laatste Engelse klooster dat dit deed in 931 was. Vóór deze data leverden andere methoden data voor Paaszondag op die tot wel vijf weken konden verschillen.

Dit is de tabel met Paasvollemaansdata voor alle Juliaanse jaren sinds 931:

Berekeningsvoorbeeld aan de hand van deze tabel:

Het gulden getal voor 1573 is 16 (1573 + 1 = 1574; 1574 ÷ 19 = 82 rest 16). Uit de tabel is de paschal volle maan voor gulden getal 16 21 maart. Uit de weektabel is 21 maart zaterdag. Paaszondag is de daaropvolgende zondag, 22 maart.

Voor een gegeven datum van de kerkelijke volle maan zijn er dus zeven mogelijke Paasdata. De cyclus van zondagsbrieven herhaalt zich echter niet in zeven jaar: vanwege de onderbrekingen van de schrikkeldag om de vier jaar, is de volledige cyclus waarin weekdagen op dezelfde manier in de kalender terugkeren 4 × 7 = 28 jaar, de zogenaamde zonnecyclus. De paasdata herhalen zich dus in dezelfde volgorde na 4 × 7 × 19 = 532 jaar. Deze paascyclus wordt ook wel de Victoriaanse cyclus genoemd, naar Victorius van Aquitanië, die hem in 457 in Rome invoerde. Het is bekend dat deze cyclus voor het eerst werd gebruikt door Annianus van Alexandrië in het begin van de 5e eeuw. Het is soms ook abusievelijk de Dionysische cyclus genoemd, naar Dionysius Exiguus, die Paastabellen opstelde die in 532 begonnen; maar hij realiseerde zich blijkbaar niet dat de Alexandrijnse computus die hij beschreef een 532-jarige cyclus had, hoewel hij zich wel realiseerde dat zijn 95-jarige tabel geen echte cyclus was. Eerwaarde Bede (7e eeuw) schijnt de eerste te zijn geweest die de zonnecyclus identificeerde en de Paascyclus verklaarde uit de Metonische cyclus en de zonnecyclus.

In middeleeuws West-Europa konden de hierboven gegeven data van de Paasvollemaan (14 Nisan) worden gememoriseerd met behulp van een 19-regelig alliteratief gedicht in het Latijn:

Nonae Aprilis	norunt quinos	V
octonae kalendae	assim depromunt.	I
Idus Aprilis	etiam sexis,	VI
nonae quaternae	namque dipondio.	II
Item undene	ambiunt quinos,	V
quatuor idus	capiunt ternos.	III
Ternas kalendas	titulant seni,	VI
quatuor dene	cubant in quadris.	IIII
Septenas idus	septem eligunt,	VII
senae kalendae	sortiunt ternos,	III
denis septenis	donant assim.	I
Pridie nonas	porro quaternis,	IIII
nonae kalendae	notantur septenis.	VII
Pridie idus	panditur quinis,	V
kalendas Aprilis	exprimunt unus.	I
Duodene namque	docte quaternis,	II
speciem quintam	speramus duobus.	II
Quaternae kalendae	quinque coniciunt,	V
quindene constant	tribus adeptis.	III

De eerste halve regel van elke regel geeft de datum van de Paasvollemaan uit de tabel hierboven voor elk jaar in de 19-jarige cyclus. De tweede halve regel geeft de feriale regular, of weekdagverplaatsing, van de dag van de paasvollemaan van dat jaar uit de concurrent, of de weekdag van 24 maart.:xlvii De feriale regular wordt in Romeinse cijfers in de derde kolom herhaald.

“Paradoxale” PaasdataEdit

Door de discrepanties tussen de benaderingen van computistische berekeningen van de tijd van het gemiddelde lentepunt en de maanfasen, en de ware waarden berekend volgens astronomische principes, ontstaan er nu en dan verschillen tussen de datum van Pasen volgens computistische berekeningen en de hypothetische datum van Pasen berekend volgens astronomische methoden met gebruikmaking van de principes toegeschreven aan de kerkvaders. Deze discrepanties worden “paradoxale” Paasdata genoemd. In zijn Kalendarium van 1474 berekende Regiomontanus de precieze tijd van alle conjuncties van Zon en Maan voor de lengtegraad van Neurenberg volgens de Alfonsijnse Tafelen voor de periode van 1475 tot 1531. In zijn werk heeft hij 30 gevallen getabelleerd waarin de Paasdatum van de Juliaanse computus niet overeenkwam met de Paasdatum berekend met behulp van de astronomische Nieuwe Maan. In achttien gevallen verschilde de datum een week, in zeven gevallen 35 dagen, en in vijf gevallen 28 dagen.

Ludwig Lange onderzocht en classificeerde verschillende soorten paradoxale Paasdata met behulp van de Gregoriaanse computus. In gevallen waarin het eerste lentepunt van volle maan volgens astronomische berekening op een zondag valt en de Computus dezelfde zondag als Pasen geeft, valt het gevierde Pasen een week vroeger dan het hypothetisch “astronomisch” juiste Pasen. Lange noemde dit geval een negatieve wekelijkse (hebdomadale) paraodox (H- paradox). Als de astronomische berekening een zaterdag geeft voor de eerste lentale volle maan en Pasen wordt niet op de direct daarop volgende zondag gevierd maar een week later, dan wordt Pasen volgens de computus een week te laat gevierd in vergelijking met het astronomische resultaat. Hij classificeerde zulke gevallen als een positieve weekparadox (hebdomadale paradox) (H+ paradox). De discrepanties zijn nog groter als er een verschil is volgens het lentepunt ten opzichte van de astronomische theorie en de benadering van de Computus. Als de astronomische equinoctiale volle maan vóór de computistische equinoctiale volle maan valt, wordt Pasen vier of zelfs vijf weken te laat gevierd. Dergelijke gevallen worden volgens Lange een positieve equinoctiale paradox (A+ paradox) genoemd. In het omgekeerde geval, wanneer de Computistische equinoctiale volle maan een maand voor de astronomische equinoctiale volle maan valt, wordt Pasen vier of vijf weken te vroeg gevierd. Dergelijke gevallen worden een negatieve equinoctiale paradox (A-paradox) genoemd. Equinoctiale paradoxen gelden altijd globaal voor de hele aarde, omdat de volgorde van equinox en volle maan niet afhangt van de geografische lengtegraad. Weekparadoxen daarentegen zijn in de meeste gevallen lokaal en gelden slechts voor een deel van de aarde, omdat de wisseling van de dag tussen zaterdag en zondag afhankelijk is van de geografische lengtegraad. De computistische berekeningen zijn gebaseerd op astronomische tabellen die geldig zijn voor de lengtegraad van Venetië, die Lange de Gregoriaanse lengtegraad noemde.

In de 21e en 22e eeuw komen negatieve wekelijkse paradoxale Paasdata voor in 2049, 2076, 2106, 2119 (wereldwijd), 2133, 2147, 2150, 2170, en 2174; positieve wekelijkse paradoxale data komen voor in 2045, 2069, 2089, en 2096; positieve equinoctiale paradoxale data in 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171, en 2190. In 2076 en 2133 komen ‘dubbele paradoxen (positief equinoctiaal en negatief wekelijks) voor. Negatieve equinoctiale paradoxen zijn uiterst zeldzaam; zij doen zich slechts tweemaal voor tot het jaar 4000 in 2353, wanneer Pasen vijf weken te vroeg valt en in 2372, wanneer Pasen vier weken te vroeg valt.