Als A en B twee constante uitdrukkingen zijn, schrijven we A = B als ze gelijk zijn, en A ≠ B, als ze dat niet zijn. Bijvoorbeeld, voor een willekeurig getal of uitdrukking N, N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². Aan de andere kant, 1 ≠ 2.5. Men kan niet fout gaan met uitdrukkingen als N = N omdat ze niet veel zeggen. Het gelijkheidsteken “=”, dat wordt uitgesproken als “gelijk aan”, heeft andere, vruchtbaardere toepassingen.
“=” wordt gebruikt om een verklaring af te leggen
Het gelijkheidsteken “=” wordt gebruikt om een verklaring af te leggen dat twee verschillend lijkende uitdrukkingen in feite gelijk zijn. Bijvoorbeeld, 1 + 1 ziet er niet uit als 2, maar de definities van de symbolen 1, 2, +, en de regels van de rekenkunde vertellen ons dat 1 + 1 = 2. Gelijk zijn, betekent dus niet noodzakelijkerwijs hetzelfde zijn.
Ook de uitspraak met het symbool “=” kan al dan niet juist zijn. Terwijl 1 + 1 = 2 een juiste bewering is, is 1 + 2 = 4 dat niet. Hetzelfde geldt voor het symbool “≠”, niet gelijk. Maar de betekenis is net het omgekeerde van “=”. Terwijl 1 + 2 ≠ 4 een juiste uitspraak is, is 1 + 1 ≠ 2 dat niet.
“=” wordt gebruikt om een probleem te stellen
Als de uitdrukkingen A en B niet constant zijn, d.w.z. als ze variabelen bevatten, dan betekent A = B meestal een verzoek om de waarden van de variabelen te vinden, waarvoor A gelijk wordt aan B. Bijvoorbeeld, x + 1 = 4, afhankelijk van waar x voor kan staan, kan wel of niet juist zijn. Het verzoek om x + 1 = 4 op te lossen betekent de waarde (of waarden) van x te vinden, waarvoor x + 1 gelijk is aan 4. In dit specifieke geval is er maar één waarde van x die de klus klaart, namelijk x = 3.
De terminologie varieert. Mij is geleerd dat de uitspraak A = B waarin A en B constante, vaste uitdrukkingen zijn, een gelijkheid of identiteit wordt genoemd. Als ze variabelen bevatten, wordt A = B een vergelijking genoemd. Tegenwoordig gebruikt men de term “vergelijking” in beide gevallen, waarbij van de eerste wordt gezegd dat het een constante vergelijking is.
De reden voor het latere gebruik is denk ik dat in de algebra een constante uitdrukking variabele-achtige symbolen kan bevatten om generieke getallen aan te duiden. Bijvoorbeeld, (x + y)² = x² + 2xy + y² is een uitspraak die niet bedoeld is om te worden opgelost. Het zegt gewoon dat de twee uitdrukkingen, (x + y)² aan de linkerkant, en x² + 2xy + y² aan de rechterkant gelijk zijn, ongeacht de specifieke waarden van x en y. Dit gebruik is vergelijkbaar met de uitspraak van natuurkundige wetten. Bijvoorbeeld, in Einsteins wet, E = mc², zijn E en m variabelen, terwijl c constant is.
“=” wordt gebruikt om een voorwerp te definiëren of te benoemen
In de algebra kan men een functie f(x) = x² + 2x³ definiëren. Dit is noch een verklaring, noch een verzoek om een vergelijking op te lossen. Dit is een gemakkelijke definitie. Nadat ze gegeven is, kan men spreken van machten van de functie f, van haar afgeleide f’, of van haar iteraten f(f(x)), f(f(x)), …
In de meetkunde, als ander voorbeeld, kan men een punt A = (2, 3) en een ander punt B = (-2, 5) voorstellen. Het middelpunt M = (A + B) /2 = (0, 4) ligt op de y-as.
Symbolen “<” en “>” van vergelijking
Sommige wiskundige objecten kunnen vergeleken worden, b.v. van twee verschillende gehele getallen is het ene groter, het andere kleiner. Andere wiskundige objecten, complexe getallen bijvoorbeeld, kunnen niet vergeleken worden als verwacht wordt dat de vergelijkingsoperatie bepaalde eigenschappen bezit.
Symbool “>” betekent “groter dan”; symbool “<” betekent “kleiner dan”. Bijvoorbeeld, 2 < 5, 5 > 2. Om te onthouden welk symbool welk is, merk op dat beide symbolen een puntige zijde hebben met slechts één uiteinde, en een gespleten zijde met 2 uiteinden. Het feit dat 1 kleiner is dan 2 wordt uitgedrukt als 1 < 2, wat hetzelfde is als 2 > 1, d.w.z. dat 2 groter is dan 1. Het spitse uiteinde met één enkel eindpunt wijst naar de kleinste van de twee uitdrukkingen.
Zoals het symbool van gelijkheid, kunnen de symbolen van vergelijking, gebruikt worden om een uitspraak te doen of om een probleem te stellen. 2 < 5 is een juiste uitspraak. 5 < 2 is een onjuiste uitspraak. x + 2 < 5 kan juist zijn of niet, afhankelijk van de waarde van x. Er kan u gevraagd worden om die waarden van x te vinden waarvoor x + 2 < 5. In dat geval krijgen we, door -2 bij beide zijden van de ongelijkheid op te tellen, x < 3, wat de oplossing is voor x + 2 < 5.
In algebra kan een opgave generieke variabelen bevatten, zoals de AM-GM ongelijkheid: (x + y) / 2 ≥ √xy, die waar is voor alle positieve x en y.
Tussen haakjes, symbool “≤” betekent “kleiner dan of gelijk aan”. De (x + y) / 2 ≥ √xy, wordt gelijkheid voor x = y. Bijvoorbeeld, als x = y = 2, dan (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
Ook, √xy = √2-2 = 2. Als x ≠ y, de ongelijkheid wordt “strikt”: (x + y) / 2 > √xy.
De ongelijkheid -x² > x² heeft geen oplossingen onder gehele getallen. De ongelijkheid -x² ≥ x² heeft één oplossing: x = 0.
Gerelateerde stofLees meer…
|Contact|Voorpagina||Inhoud||Arithmetic|