Jeśli A i B są dwoma stałymi wyrażeniami, piszemy A = B, jeśli są równe, i A ≠ B, jeśli nie są. Na przykład, dla dowolnej liczby lub wyrażenia N, N = N. 1 = 1, 2.5 = 2.5, x + y² = x + y². Z drugiej strony, 1 ≠ 2,5. Nie można się pomylić z wyrażeniami typu N = N, bo niewiele mówią. Znak „=” równości, który wymawia się jako „równy”, ma inne, bardziej owocne zastosowania.
„=” służy do składania oświadczeń
Symbol równości „=” służy do składania oświadczeń, że dwa różnie wyglądające wyrażenia są w rzeczywistości równe. Na przykład, 1 + 1 nie wygląda jak 2, ale definicje symboli 1, 2, + i zasady arytmetyki mówią nam, że 1 + 1 = 2. Tak więc, bycie równym, nie musi oznaczać bycia tym samym.
Also, oświadczenie, które obejmuje symbol „=” może lub nie może być poprawne. Podczas gdy 1 + 1 = 2 jest poprawnym stwierdzeniem, 1 + 2 = 4 nie jest. To samo dotyczy symbolu „≠”, a nie równości. Ale znaczenie jest dokładnie odwrotne niż w przypadku „=”. O ile 1 + 2 ≠ 4 jest stwierdzeniem poprawnym, to 1 + 1 ≠ 2 nie jest.
„=” służy do stawiania problemu
Jeżeli wyrażenia A i B nie są stałe, tzn. zawierają zmienne, to najczęściej A = B oznacza prośbę o znalezienie takich wartości zmiennych, dla których A staje się równe B. Na przykład x + 1 = 4, w zależności od tego, co x może oznaczać, może być poprawne lub nie. Prośba o rozwiązanie x + 1 = 4 oznacza znalezienie wartości (lub wartości) x, które x + 1 jest równe 4. W tym konkretnym przypadku istnieje tylko jedna wartość x, która wykonuje zadanie, a mianowicie x = 3.
Terminologia jest różna. Uczono mnie, że stwierdzenie A = B, w którym A i B są stałymi, niezmiennymi wyrażeniami, nazywa się równością lub tożsamością. Jeśli zawierają zmienne, A = B jest nazywany równaniem. Obecnie używają terminu „równanie” w obu przypadkach, przy czym w pierwszym przypadku mówi się, że jest to równanie stałe.
Powodem późniejszego użycia, jak sądzę, jest to, że w algebrze stałe wyrażenie może zawierać symbole zmiennopodobne do oznaczania liczb ogólnych. Na przykład, (x + y)² = x² + 2xy + y² jest stwierdzeniem, które nie powinno być rozwiązane. Mówi ono po prostu, że dwa wyrażenia, (x + y)² po lewej stronie i x² + 2xy + y² po prawej stronie są równe niezależnie od konkretnych wartości x i y. To użycie jest podobne do stwierdzenia praw fizycznych. Na przykład, w prawie Einsteina, E = mc², E i m są zmienne, podczas gdy c jest constant.
„=” jest używany do zdefiniowania lub nazwania obiektu
W algebrze, można zdefiniować funkcję f(x) = x² + 2x³. To nie jest ani stwierdzenie, ani prośba o rozwiązanie równania. Jest to wygodna definicja. Po jej podaniu możemy mówić o potęgach funkcji f, jej pochodnej f’, lub o jej iteratach f(f(x)), f(f(f(x))), …
W geometrii, jako inny przykład, można wprowadzić punkt A = (2, 3) i inny punkt B = (-2, 5). Punkt środkowy M = (A + B) /2 = (0, 4) leży na osi y.
Symbole „<” i „>” porównania
Niektóre obiekty matematyczne mogą być porównywane, np. z dwóch różnych liczb całkowitych jedna jest większa, druga mniejsza. Inne obiekty matematyczne, liczby złożone na jeden, nie mogą być porównywane, jeśli operacja porównania ma posiadać pewne właściwości.
Symbol „>” oznacza „większy niż”; symbol „<” oznacza „mniejszy niż”. Na przykład, 2 < 5, 5 > 2. Aby zapamiętać, który z nich jest który, zauważ, że oba symbole mają jedną spiczastą stronę, gdzie jest tylko jeden koniec, i jedną rozciętą stronę z dwoma końcami. Fakt, że 1 jest mniejszy od 2 jest wyrażony jako 1 < 2, co jest tym samym co 2 > 1, czyli, że 2 jest większe od 1. Spiczasty koniec z jednym końcem wskazuje na mniejsze z dwóch wyrażeń.
Podobnie jak symbol równości, symbole porównania, mogą być użyte do stwierdzenia lub postawienia problemu. 2 < 5 jest poprawnym stwierdzeniem. 5 < 2 jest błędnym stwierdzeniem. x + 2 < 5 może być poprawne lub nie, w zależności od wartości x. Możesz zostać poproszony o znalezienie tych wartości x, dla których x + 2 < 5. W takim przypadku, dodając -2 do obu stron nierówności, otrzymujemy x < 3, które jest rozwiązaniem x + 2 < 5.
W algebrze twierdzenie może zawierać zmienne ogólne, jak nierówność AM-GM: (x + y) / 2 ≥ √xy, która jest prawdziwa dla wszystkich dodatnich x i y.
Na marginesie, symbol „≤” oznacza „mniejszy lub równy”. Nierówność (x + y) / 2 ≥ √xy, staje się równością dla x = y. Na przykład, jeśli x = y = 2, to (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
Również, √xy = √2-2 = 2. Jeśli x ≠ y, nierówność staje się „ścisła”: (x + y) / 2 > √xy.
Nierówność -x² > x² nie ma rozwiązań wśród liczb całkowitych. Nierówność -x² ≥ x² ma jedno rozwiązanie: x = 0.
Materiały związaneRead more…
|Kontakt||Strona tytułowa||Zawartość||Arytmetyka|
.