Dacă A și B sunt două expresii constante, scriem A = B, dacă sunt egale, și A ≠ B, dacă nu sunt. De exemplu, pentru orice număr sau expresie N, N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². Pe de altă parte, 1 ≠ 2,5. Nu se poate greși cu expresii precum N = N, deoarece acestea nu spun prea multe. Semnul „=” al egalității care se pronunță „egal cu” are alte utilizări mai fructuoase.
„=” este folosit pentru a face o afirmație
Simbolul egalității „=” este folosit pentru a face o afirmație că două expresii cu aspect diferit sunt de fapt egale. De exemplu, 1 + 1 nu arată ca 2, dar definițiile simbolurilor 1, 2, + și regulile aritmeticii ne spun că 1 + 1 = 2. Așadar, a fi egali, nu înseamnă neapărat a fi la fel.
De asemenea, afirmația care implică simbolul „=” poate fi sau nu corectă. În timp ce 1 + 1 = 2 este o afirmație corectă, 1 + 2 = 4 nu este. Același lucru este valabil și pentru simbolul „≠”, nu egal. Dar semnificația este exact opusă față de „=”. În timp ce 1 + 2 ≠ 4 este un enunț corect, 1 + 1 ≠ 2 nu este.
„=” este folosit pentru a pune o problemă
Dacă expresiile A și B nu sunt constante, adică dacă ele conțin variabile, atunci cel mai adesea A = B înseamnă o cerere de a găsi valorile variabilelor, pentru care A devine egal cu B. De exemplu, x + 1 = 4, în funcție de ceea ce poate reprezenta x, poate fi sau nu corect. Solicitarea de a rezolva x + 1 = 4 înseamnă a găsi valoarea (sau valorile) lui x, pentru care x + 1 este egal cu 4. În acest caz particular, există o singură valoare a lui x care face treaba, și anume x = 3.
Terminologia variază. Am fost învățat că afirmația A = B în care A și B sunt expresii constante, fixe, se numește egalitate sau identitate. Dacă includ variabile, A = B se numește ecuație. În zilele noastre, se folosește termenul „ecuație” în ambele cazuri, despre prima spunându-se că este o ecuație constantă.
Motivul pentru această ultimă utilizare cred că este că în algebră o expresie constantă poate conține simboluri asemănătoare variabilelor pentru a desemna numere generice. De exemplu, (x + y)² = x² + 2xy + y² este un enunț care nu trebuie să fie rezolvat. Ea spune pur și simplu că cele două expresii, (x + y)² din stânga și x² + 2xy + y² din dreapta sunt egale, indiferent de valorile specifice ale lui x și y. Această utilizare este similară cu enunțarea legilor fizice. De exemplu, în legea lui Einstein, E = mc², E și m sunt variabile, în timp ce c este constantă.
„=” este folosit pentru a defini sau denumi un obiect
În algebră, se poate defini o funcție f(x) = x² + 2x³. Aceasta nu este nici o afirmație, nici o cerere de rezolvare a unei ecuații. Aceasta este o definiție de conveniență. După ce este dată, se poate vorbi de puterile funcției f, de derivata sa f’ sau de iterații săi f(f(x)), f(f(f(x))), …
În geometrie, ca un alt exemplu, se poate introduce punctul A = (2, 3) și un alt punct B = (-2, 5). Punctul median M = (A + B) /2 = (0, 4) se află pe axa y.
Simbolurile „<” și „>” de comparație
Câteva obiecte matematice pot fi comparate, de exemplu, dintre două numere întregi diferite, unul este mai mare, celălalt mai mic. Alte obiecte matematice, de exemplu numerele complexe, nu pot fi comparate dacă se așteaptă ca operația de comparație să posede anumite proprietăți.
Simbolul „>” înseamnă „mai mare decât”; simbolul „<” înseamnă „mai mic decât”. De exemplu, 2 < 5, 5 > 2. Pentru a vă aminti care este care, observați că ambele simboluri au o parte ascuțită, unde există un singur capăt, și o parte divizată cu 2 capete. Faptul că 1 este mai mic decât 2 este exprimat prin 1 < 2, care este același lucru cu 2 > 1, adică faptul că 2 este mai mare decât 1. Capătul ascuțit cu un singur capăt indică cea mai mică dintre cele două expresii.
Ca și simbolul egalității, simbolurile de comparație, pot fi folosite pentru a face o afirmație sau pentru a pune o problemă. 2 < 5 este o afirmație corectă. 5 < 2 este un enunț incorect. x + 2 < 5 poate fi corect sau nu, în funcție de valoarea lui x. Vi se poate cere să găsiți acele valori ale lui x pentru care x + 2 < 5. În acest caz, adăugând -2 la ambele părți ale inegalității obținem x < 3 care este soluția lui x + 2 < 5.
În algebră, un enunț poate include variabile generice, cum ar fi inegalitatea AM-GM: (x + y) / 2 ≥ √xy, care este adevărată pentru toate x și y pozitive.
De altfel, simbolul „≤” înseamnă „mai mic sau egal cu”. (x + y) / 2 ≥ √xy, devine egalitate pentru x = y. De exemplu, dacă x = y = 2, atunci (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
De asemenea, √xy = √2-2 = 2. Dacă x ≠ y, inegalitatea devine „strictă”: (x + y) / 2 > √xy.
Inegalitatea -x² > x² nu are soluții între numere întregi. Inegalitatea -x² ≥ x² are o singură soluție: x = 0.
Material conexCitește mai departe…
|Contact|||Prima pagină|||Contenit|||Aritmetică|