Si A y B son dos expresiones constantes, escribimos A = B si son iguales, y A ≠ B, si no lo son. Por ejemplo, para cualquier número o expresión N, N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². Por otro lado, 1 ≠ 2,5. No hay que equivocarse con expresiones como N = N porque no dicen mucho. El signo «=» de la igualdad que se pronuncia «igual a» tiene otros usos más fructíferos.
«=» se utiliza para hacer una afirmación
El símbolo de la igualdad «=» se utiliza para hacer una afirmación de que dos expresiones de aspecto diferente son de hecho iguales. Por ejemplo, 1 + 1 no se parece a 2 pero las definiciones de los símbolos 1, 2, +, y las reglas de la aritmética nos dicen que 1 + 1 = 2. Por lo tanto, ser igual, no significa necesariamente ser lo mismo.
Además, la afirmación que implica el símbolo «=» puede ser correcta o no. Mientras que 1 + 1 = 2 es una afirmación correcta, 1 + 2 = 4 no lo es. Lo mismo ocurre con el símbolo «≠», no igual. Pero el significado es justo el contrario de «=». Mientras que 1 + 2 ≠ 4 es un enunciado correcto, 1 + 1 ≠ 2 no lo es.
«=» se utiliza para plantear un problema
Si las expresiones A y B no son constantes, es decir, si contienen variables, entonces la mayoría de las veces A = B significa una petición de encontrar los valores de las variables, para los cuales A se hace igual a B. Por ejemplo, x + 1 = 4, dependiendo de lo que pueda representar x, puede ser o no correcto. La petición de resolver x + 1 = 4 significa encontrar el valor (o valores) de x, que x + 1 es igual a 4. En este caso particular, sólo hay un valor de x que hace el trabajo, a saber, x = 3.
La terminología varía. A mí me enseñaron que el enunciado A = B en el que A y B son expresiones constantes y fijas, se llama igualdad o identidad. Si incluyen variables, A = B se llama ecuación. Hoy en día, utilizan el término «ecuación» en ambos casos, el primero se dice que es una ecuación constante.
La razón para el uso posterior creo que es que en el álgebra una expresión constante puede contener símbolos similares a las variables para denotar números genéricos. Por ejemplo, (x + y)² = x² + 2xy + y² es un enunciado que no debe resolverse. Simplemente dice que las dos expresiones, (x + y)² a la izquierda, y x² + 2xy + y² a la derecha son iguales independientemente de los valores específicos de x e y. Este uso es similar al enunciado de las leyes físicas. Por ejemplo, en la ley de Einstein, E = mc², E y m son variables, mientras que c es constante.
«=» se utiliza para definir o nombrar un objeto
En álgebra, se puede definir una función f(x) = x² + 2x³. Esto no es una declaración, ni una solicitud para resolver una ecuación. Es una definición de conveniencia. Una vez dada, podemos hablar de las potencias de la función f, de su derivada f’, o de sus iteradas f(f(x)), f(f(f(x))), …
En geometría, como otro ejemplo, se puede introducir un punto A = (2, 3) y otro punto B = (-2, 5). El punto medio M = (A + B) /2 = (0, 4) se encuentra en el eje y.
Símbolos «<» y «>» de comparación
Algunos objetos matemáticos se pueden comparar, por ejemplo, de dos enteros diferentes uno es mayor, el otro menor. Otros objetos matemáticos, los números complejos por ejemplo, no pueden ser comparados si se espera que la operación de comparación posea ciertas propiedades.
El símbolo «>» significa «mayor que»; el símbolo «<» significa «menor que». Por ejemplo, 2 < 5, 5 > 2. Para recordar cuál es cuál, observe que ambos símbolos tienen un lado puntiagudo en el que hay un solo extremo, y un lado dividido con 2 extremos. El hecho de que 1 sea menor que 2 se expresa como 1 < 2, que es lo mismo que 2 > 1, es decir, que 2 es mayor que 1. El extremo puntiagudo con un solo extremo señala la menor de las dos expresiones.
Al igual que el símbolo de la igualdad, los símbolos de la comparación, pueden utilizarse para hacer una afirmación o para plantear un problema. 2 < 5 es una afirmación correcta. 5 < 2 es un enunciado incorrecto. x + 2 < 5 puede ser correcto o no, dependiendo del valor de x. Se te puede pedir que encuentres aquellos valores de x para los que x + 2 < 5. En cuyo caso, sumando -2 a ambos lados de la desigualdad se obtiene x < 3 que es la solución de x + 2 < 5.
En álgebra, un enunciado puede incluir variables genéricas, como la desigualdad AM-GM: (x + y) / 2 ≥ √xy, que es verdadera para todas las x e y positivas.
Por cierto, el símbolo «≤» significa «menor o igual que». La (x + y) / 2 ≥ √xy, se convierte en igualdad para x = y. Por ejemplo, si x = y = 2, entonces (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
Además, √xy = √2-2 = 2. Si x ≠ y, la desigualdad se convierte en «estricta»: (x + y) / 2 > √xy.
La desigualdad -x² > x² no tiene soluciones entre los enteros. La desigualdad -x² ≥ x² tiene una solución: x = 0.
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