Computus

Gregoriansk kalenderRedigera

Då reformen av computus var det primära motivet för införandet av den gregorianska kalendern 1582, infördes en motsvarande computusmetodik tillsammans med kalendern. Den allmänna arbetsmetoden gavs av Clavius i Six Canons (1582), och en fullständig förklaring följde i hans Explicatio (1603).

Påskesöndagen är den söndag som följer på påskens fullmånedatum. Det påskliga fullmåne-datumet är det kyrkliga fullmåne-datumet den 21 mars eller senare. Den gregorianska metoden härleder paschaliska fullmåne-datum genom att bestämma epact för varje år. Epact kan ha ett värde från * (0 eller 30) till 29 dagar. Teoretiskt sett börjar en månmånad (epact 0) med nymåne, och halvmånen syns för första gången på månadens första dag (epact 1). Månmånadens 14:e dag anses vara fullmånens dag.

Historiskt sett hittades det påskliga fullmånedatumet för ett år utifrån dess löpnummer i den metoniska cykeln, det s.k. gyllene talet, vars cykel upprepar månfasen 1 januari vart 19:e år. Denna metod övergavs i samband med den gregorianska reformen eftersom tabelldatumen går ur synk med verkligheten efter ungefär två århundraden, men utifrån epact-metoden kan en förenklad tabell konstrueras som har en giltighet på ett till tre århundraden.

Epacterna för den nuvarande metoniska cykeln, som inleddes 2014, är följande:

.

.

Ovanstående tabell är giltig från 1900 till och med 2199. Som ett exempel på användning är det gyllene talet för 2038 6 (2038 ÷ 19 = 107 rest 5, då +1 = 6). Enligt tabellen är påskfullmåne för gyllene talet 6 den 18 april. Enligt veckotabellen är den 18 april söndag. Påsksöndagen är söndagen därpå, den 25 april.

Epacterna används för att hitta datum för nymåne på följande sätt: Skriv ner en tabell över årets alla 365 dagar (skottdagen ignoreras). Märk sedan alla datum med en romersk siffra som räknas nedåt, från ”*” (0 eller 30), ”xxix” (29), ner till ”i” (1), med början den 1 januari, och upprepa detta till årets slut. Under varannan period räknas dock endast 29 dagar och datumet betecknas med xxv (25) och även med xxiv (24). Behandla därför den 13:e perioden (de sista elva dagarna) som lång, och tilldela etiketterna ”xxv” och ”xxiv” till datum som följer på varandra (26 respektive 27 december). Slutligen, som tillägg, lägg till etiketten ”25” till de datum som har ”xxv” i 30-dagarsperioderna; men i 29-dagarsperioder (som har ”xxiv” tillsammans med ”xxv”) lägg till etiketten ”25” till datumet med ”xxvi”. Fördelningen av månadernas längd och epact-cyklerna är sådan att varje civil kalendermånad börjar och slutar med samma epact-etikett, med undantag för februari och för epact-etiketterna ”xxv” och ”25” i juli och augusti. Denna tabell kallas calendarium. De kyrkliga nymånerna för ett år är de datum då epact för året anges. Om epact för året till exempel är 27, så finns det en kyrklig nymåne på varje datum under det året som har epact-etiketten ”xxvii” (27).

Märk också alla datum i tabellen med bokstäverna ”A” till ”G”, med början den 1 januari, och upprepa detta fram till slutet av året. Om till exempel årets första söndag är den 5 januari, som har bokstaven ”E”, så är varje datum med bokstaven ”E” en söndag det året. Då kallas ”E” för den dominerande bokstaven för det året (från latin: dies domini, Herrens dag). Den dominerande bokstaven går bakåt en position varje år. Under skottår efter den 24 februari faller dock söndagarna på den föregående bokstaven i cykeln, så skottår har två dominikala bokstäver: den första för före, den andra för efter skottdagen.

I praktiken, för att beräkna påsken, behöver detta inte göras för alla 365 dagar på året. För epapperna kommer mars ut exakt på samma sätt som januari, så man behöver inte beräkna januari eller februari. För att också slippa beräkna de dominikala bokstäverna för januari och februari kan man börja med D för 1 mars. Du behöver epacts endast från den 8 mars till den 5 april. Detta ger upphov till följande tabell:

En tabell från Sverige för att beräkna datumet för påsken 1140-1671 enligt den julianska kalendern. Lägg märke till den runiska skriften.

Kronologiskt diagram över påskens datum under 600 år, från reformen av den gregorianska kalendern till år 2200 (av Camille Flammarion, 1907)

.

.

.

Exempel: Om epact är 27 (xxvii) faller en kyrklig nymåne på varje datum med beteckningen xxvii. Den ecklesiastiska fullmånen infaller 13 dagar senare. Från tabellen ovan ger detta en nymåne den 4 mars och den 3 april, och därmed en fullmåne den 17 mars och den 16 april.

Då är påskdagen den första söndagen efter den första kyrkliga fullmånen den 21 mars eller senare. I denna definition används ”den eller efter den 21 mars” för att undvika tvetydighet om den historiska betydelsen av ordet ”efter”. På modernt språk betyder denna fras helt enkelt ”efter den 20 mars”. Definitionen av ”den 21 mars eller senare” förkortas ofta felaktigt till ”efter den 21 mars” i publicerade och webbaserade artiklar, vilket resulterar i felaktiga påskdatum.

I exemplet är denna påskfullmåne den 16 april. Om den dominerande bokstaven är E är påskdagen den 20 april.

Etiketten ”25” (till skillnad från ”xxv”) används på följande sätt: Inom en metonisk cykel har år med 11 års mellanrum epact som skiljer sig åt med en dag. En månad som börjar på ett datum med etiketterna xxiv och xxv som är sammanlagda har antingen 29 eller 30 dagar. Om epact 24 och 25 båda inträffar inom en metonisk cykel, skulle nymånen (och fullmånen) infalla på samma datum för dessa två år. Detta är möjligt för den verkliga månen men är oelegant i en schematisk månkalender; datumen bör upprepas först efter 19 år. För att undvika detta faller den beräknade nymånen under år som har epakt 25 och med ett gyllene tal som är större än 11, på datumet med etiketten 25 i stället för xxv. När etiketterna 25 och xxv är tillsammans är det inget problem eftersom de är desamma. Detta flyttar inte problemet till paret ”25” och ”xxvi”, eftersom den tidigaste epact 26 skulle kunna förekomma tidigast år 23 i cykeln, som bara varar 19 år: det finns ett saltus lunae däremellan som gör att nymånerna faller på separata datum.

Den gregorianska kalendern har en korrigering av det tropiska året genom att tre skottdagar stryks på 400 år (alltid i ett sekelår). Detta är en korrigering av det tropiska årets längd, men bör inte ha någon effekt på det metoniska förhållandet mellan år och lunationer. Därför kompenseras epact för detta (delvis – se epact) genom att subtrahera en i dessa sekelår. Detta är den så kallade solkorrigeringen eller ”solekvationen” (”ekvation” används i sin medeltida betydelse av ”korrigering”).

Hur som helst är 19 okorrigerade julianska år lite längre än 235 lunationer. Skillnaden ackumuleras till en dag på cirka 310 år. I den gregorianska kalendern korrigeras därför epactet genom att lägga till 1 åtta gånger på 2 500 (gregorianska) år, alltid på ett sekelår: detta är den så kallade lunarkorrigeringen (historiskt kallad ”lunarekvation”). Den första tillämpades år 1800, nästa tillämpas år 2100 och kommer att tillämpas vart 300:e år med undantag för ett intervall på 400 år mellan 3900 och 4300, vilket startar en ny cykel.

Sol- och månkorrigeringarna verkar i motsatt riktning och under vissa sekelår (t.ex. 1800 och 2100) upphäver de varandra. Resultatet är att den gregorianska månkalendern använder en epacttabell som är giltig för en period på mellan 100 och 300 år. Den epacttabell som anges ovan är giltig för perioden 1900 till 2199.

DetailsEdit

Denna beräkningsmetod har flera finesser:

Varje annan månmånad har bara 29 dagar, så en dag måste ha två (av 30) epact-etiketter tilldelade. Anledningen till att flytta runt epact-etiketten ”xxv/25” snarare än någon annan verkar vara följande: Enligt Dionysios (i sitt inledande brev till Petronius) fastställde det nicenska konciliet, med stöd av Eusebius, att den första månaden i det kyrkliga månåret (påskmånaden) skulle börja mellan den 8 mars och den 5 april, och att den 14:e dagen skulle infalla mellan den 21 mars och den 18 april, och på så sätt täcka en period på (endast) 29 dagar. En nymåne den 7 mars, som har epactmärkningen ”xxiv”, har sin 14:e dag (fullmåne) den 20 mars, vilket är för tidigt (inte efter den 20 mars). Om den månmånad som börjar den 7 mars hade 30 dagar, skulle år med epact ”xxiv” alltså ha sin påsknymåne den 6 april, vilket är för sent: Fullmånen skulle infalla den 19 april, och påsken skulle kunna infalla så sent som den 26 april. I den julianska kalendern var påsken senast den 25 april, och i den gregorianska reformen bibehölls den gränsen. Så påskens fullmåne måste falla senast den 18 april och nymånen den 5 april, vilket har epactmärket ”xxv”. Den 5 april måste därför ha sina dubbla epact-etiketter ”xxiv” och ”xxv”. Då måste epact ”xxv” behandlas annorlunda, vilket förklaras i stycket ovan.

Som en följd av detta är den 19 april det datum som påsken oftast infaller i den gregorianska kalendern: I ungefär 3,87 % av åren. Den 22 mars är den minst frekventa, med 0,48%.

Fördelning av påskdatumet för hela 5 700 000 årscykeln

Relationen mellan datum i mån- och solkalendern görs oberoende av skottdagssystemet för solåret. I grund och botten använder den gregorianska kalendern fortfarande den julianska kalendern med en skottdag vart fjärde år, så en metonisk cykel på 19 år har 6 940 eller 6 939 dagar med fem eller fyra skottdagar. Nu räknar måncykeln endast 19 × 354 + 19 × 11 = 6 935 dagar. Genom att inte märka och räkna skottdagen med ett epact-nummer, utan låta nästa nymåne falla på samma kalenderdatum som utan skottdagen, förlängs den aktuella lunationen med en dag, och de 235 lunationerna omfattar lika många dagar som de 19 åren. Så bördan att synkronisera kalendern med månen (noggrannhet på medellång sikt) flyttas över till solkalendern, som kan använda vilket lämpligt interkalationsschema som helst; allt under antagandet att 19 solår = 235 lunationer (noggrannhet på lång sikt). En konsekvens av detta är att månens beräknade ålder kan vara fel med en dag, och även att de lunationer som innehåller skottdagen kan vara 31 dagar långa, vilket aldrig skulle inträffa om man följde den verkliga månen (kortsiktiga felaktigheter). Detta är priset för en regelbunden anpassning till solkalendern.

Från perspektivet för dem som kanske vill använda den gregorianska påskcykeln som kalender för hela året finns det några brister i den gregorianska månkalendern (även om de inte har någon effekt på påskmånaden och påskdatumet):

1. Lunationer på 31 (och ibland 28) dagar förekommer.
2. Om ett år med gyllene talet 19 råkar ha epact 19 faller den sista kyrkliga nymånen den 2 december; nästa skulle infalla den 1 januari. I början av det nya året ökar dock en saltus lunae epact med ytterligare en enhet, och nymånen borde ha inträffat föregående dag. Så en nymåne missas. Kalendariumet i Missale Romanum tar hänsyn till detta genom att tilldela den 31 december ett sådant år epactmärket ”19” i stället för ”xx”, vilket gör det datumet till nymåne. Det hände vart 19:e år när den ursprungliga gregorianska epacttabellen var i kraft (för sista gången 1690), och nästa gång händer det år 8511.
3. Om epact för ett år är 20 faller en kyrklig nymåne den 31 december. Om det året infaller före ett sekelår minskar i de flesta fall en solkorrigering epact för det nya året med ett: Den resulterande epakten ”*” innebär att en ny ecklesiastisk nymåne räknas den 1 januari. Formellt sett har alltså en lunation på en dag passerat. Detta händer nästa gång i 4199-4200.
4. Andra gränsfall inträffar (mycket) senare, och om reglerna följs strikt och dessa fall inte särbehandlas, genererar de på varandra följande nymånedatum som ligger 1, 28, 59 eller (mycket sällan) 58 dagar ifrån varandra.

En noggrann analys visar att genom det sätt på vilket de används och korrigeras i den gregorianska kalendern är epacts i själva verket bråkdelar av en lunation (1/30, även känd som en tithi) och inte hela dagar. Se epact för en diskussion.

Sol- och månkorrigeringarna upprepas efter 4 × 25 = 100 århundraden. Under den perioden har epact ändrats med totalt -1 × 3/4 × 100 + 1 × 8/25 × 100 = -43 ≡ 17 mod 30. Detta är ett primtal för de 30 möjliga epakterna, så det tar 100 × 30 = 3 000 århundraden innan epakterna upprepas; och 3 000 × 19 = 57 000 århundraden innan epakterna upprepas vid samma gyllene tal. Denna period har 5 700 000/19 × 235 – 43/30 × 57 000/100 = 70 499 183 lunationer. De gregorianska påskdatumen upprepas alltså i exakt samma ordning först efter 5 700 000 år, 70 499 183 lunationer eller 2 081 882 250 dagar; den genomsnittliga lunationslängden är då 29,53058690 dagar. Kalendern måste dock ha justerats redan efter några årtusenden på grund av förändringar i längden på det tropiska året, den synodiska månaden och dagen.

Diagram över datumen för västerländsk (katolsk) och österländsk (ortodox) påsksöndag jämfört med marsdagjämningen och fullmånen från 1950 till 2050 i den gregorianska kalendern

Detta väcker frågan om varför den gregorianska månkalendern har separata sol- och månkorrigeringar, som ibland upphäver varandra. Lilius originalarbete har inte bevarats, men hans förslag beskrevs i Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium som cirkulerade 1577, där det förklaras att det korrigeringssystem han utarbetat skulle bli ett perfekt flexibelt verktyg i händerna på framtida kalenderreformatorer, eftersom sol- och månkalendern hädanefter skulle kunna korrigeras utan ömsesidig påverkan. Ett exempel på denna flexibilitet gavs genom en alternativ interkalationssekvens som härrörde från Kopernikus’ teorier, tillsammans med motsvarande epactkorrigeringar.

”Solkorrigeringarna” upphäver ungefärligen effekten av de gregorianska ändringarna av solkalenderns skottdagar på månkalendern: de för (delvis) epactcykeln tillbaka till det ursprungliga metonska förhållandet mellan det julianska året och månmånaden. Det inneboende missförhållandet mellan sol och måne i denna grundläggande 19-årscykel korrigeras sedan vart tredje eller fjärde århundrade genom den ”månmässiga korrigeringen” av epakterna. Epactkorrigeringarna sker dock i början av gregorianska århundraden, inte julianska århundraden, och därför återställs inte den ursprungliga julianska metoniska cykeln helt och hållet.

Medans nettotalet 4 × 8 – 3 × 25 = 43 epact-subtraktioner skulle kunna fördelas jämnt över 10 000 år (vilket t.ex. har föreslagits av Dr. Heiner Lichtenberg).Om korrigeringarna kombineras läggs också de två cyklarnas felaktigheter till och kan inte korrigeras separat.

Förhållandena mellan (genomsnittliga sol-) dagar per år och dagar per lunation förändras både på grund av inneboende långsiktiga variationer i banorna och på grund av att jordens rotation avtar på grund av tidvattenavbromsning, vilket gör att de gregorianska parametrarna blir alltmer föråldrade.

Detta påverkar datumet för dagjämningen, men det råkar vara så att intervallet mellan dagjämningarna norrut (våren på norra halvklotet) har varit ganska stabilt under historisk tid, särskilt om det mäts i genomsnittlig soltid (se t.ex.)

Också avvikelsen i kyrkliga fullmånar beräknade med den gregorianska metoden jämfört med de verkliga fullmånarna påverkas mindre än man skulle kunna förvänta sig, eftersom ökningen av dagslängden nästan exakt kompenseras av ökningen av månadslängden, eftersom tidvattenbromsningen överför vinkelmomentet från jordens rotation till månens omloppsvinkelmoment.

Det ptolemaiska värdet av längden på den genomsnittliga synodiska månaden, som fastställdes omkring 400-talet f.v.t. av babylonierna, är 29 dagar 12 h 44 min 3+1/3 s (se Kidinnu); det nuvarande värdet är 0,46 s mindre (se Nymåne). Under samma historiska tidsperiod har längden på det genomsnittliga tropiska året minskat med ungefär 10 s (alla värden avser soltid).

British Calendar Act and Book of Common PrayerRedigera

Den del av avsnittet Tabular methods ovan beskriver de historiska argumenten och metoderna med hjälp av vilka den katolska kyrkans nuvarande datum för påsksöndagen fastställdes i slutet av 1500-talet. I Storbritannien, där den julianska kalendern fortfarande användes, fastställdes påskdagen från 1662 till 1752 (i enlighet med tidigare praxis) genom en enkel tabell med datum i den anglikanska bönboken (fastställd genom Act of Uniformity 1662). Tabellen indexerades direkt av det gyllene numret och söndagsbokstaven, som (i bokens påskavsnitt) antogs vara redan kända.

För det brittiska imperiet och kolonierna definierades den nya bestämningen av datumet för påsksöndagen genom det som nu kallas Calendar (New Style) Act 1750 med dess bilaga. Metoden valdes för att ge datum som stämmer överens med den gregorianska regeln som redan användes på andra håll. Lagen krävde att den skulle införas i Book of Common Prayer, och därför är det den allmänna anglikanska regeln. Den ursprungliga lagen kan ses i British Statutes at Large 1765. Bilagan till lagen innehåller definitionen: ”Påskdagen (som resten är beroende av) är alltid den första söndagen efter fullmåne, som inträffar på eller närmast efter den tjugoförsta dagen i mars. Och om fullmåne inträffar på en söndag, är påskdagen söndagen därefter.” I bilagan används därefter termerna ”Paschal Full Moon” och ”Ecclesiastical Full Moon”, vilket klargör att de närmar sig den verkliga fullmånen.

Metoden skiljer sig helt från den som beskrivs ovan i den gregorianska kalendern. För ett allmänt år bestämmer man först det gyllene talet, sedan använder man tre tabeller för att bestämma söndagsbokstaven, en ”cypher” och datumet för den paskaliska fullmånen, varifrån datumet för påsksöndagen följer. Epactet förekommer inte uttryckligen. Enklare tabeller kan användas för begränsade perioder (t.ex. 1900-2199) under vilka cypher (som representerar effekten av sol- och månkorrigeringarna) inte ändras. Clavius’ detaljer användes vid konstruktionen av metoden, men de spelar ingen senare roll vid dess användning.

J. R. Stockton visar sin härledning av en effektiv datoralgoritm som kan spåras till tabellerna i Prayer Book och Calendar Act (förutsatt att det finns en beskrivning av hur tabellerna ska användas), och verifierar sina processer genom att beräkna matchande tabeller.

Juliansk kalenderEdit

Fördelning av påskdatumet i de flesta östliga kyrkor 1900-2099 jämfört med västlig påskfördelning

Metoden för att beräkna datumet för den kyrkliga fullmånen som var standard för västkyrkan före den gregorianska kalenderreformen, och som fortfarande används idag av de flesta kristna i öst, använde sig av en okorrigerad upprepning av den 19-åriga metoniska cykeln i kombination med den julianska kalendern. När det gäller den ovan diskuterade epactmetoden använde den i praktiken en enda epacttabell som började med en epact på 0, som aldrig korrigerades. I det här fallet räknades epacten den 22 mars, det tidigaste acceptabla datumet för påsken. Detta upprepas vart 19:e år, så det finns bara 19 möjliga datum för påskfullmånen från den 21 mars till och med den 18 april.

Då det inte finns några korrigeringar som det finns för den gregorianska kalendern, glider den kyrkliga fullmånen bort från den sanna fullmånen med mer än tre dagar varje årtusende. Den är redan några dagar senare. Därför firar de östliga kyrkorna påsken en vecka senare än de västliga kyrkorna i ungefär 50 procent av fallen. (Den östliga påsken är ibland fyra eller fem veckor senare eftersom den julianska kalendern är 13 dagar efter den gregorianska 1900-2099, och därför är den gregorianska påskfullmånen ibland före den julianska 21 mars.)

Det löpande numret för ett år i den 19-åriga cykeln kallas dess gyllene tal. Denna term användes för första gången i den komputistiska dikten Massa Compoti av Alexander de Villa Dei år 1200. En senare skribent lade till det gyllene talet i tabeller som ursprungligen skrevs av Abbo av Fleury år 988.

Den katolska kyrkans påstående i den påvliga bullan Inter gravissimas från 1582, genom vilken den gregorianska kalendern infördes, att den återupprättade ”firandet av påsken i enlighet med de regler som fastställts av …. det stora ekumeniska konciliet i Nicaea” baserades på ett falskt påstående av Dionysius Exiguus (525) att ”vi fastställer datumet för påskdagen … i enlighet med det förslag som de 318 kyrkofäderna enades om vid konciliet i Nicaea”. Det första konciliet i Nicaea (325) gav dock inga uttryckliga regler för att bestämma detta datum, utan skrev bara att ”alla våra bröder i öst som tidigare följde judarnas sedvänja ska hädanefter fira den nämnda heligaste påskhögtiden samtidigt med romarna och er själva och alla dem som har iakttagit påsken från början”. Den medeltida computus baserades på den alexandrinska computus, som utvecklades av Alexandriakyrkan under det första decenniet av 400-talet med hjälp av den alexandrinska kalendern:36 Det östromerska riket accepterade den strax efter 380 efter att ha konverterat computus till den julianska kalendern:48 Rom accepterade den någon gång mellan sjätte och nionde århundradet. De brittiska öarna accepterade den under åttonde århundradet med undantag för ett fåtal kloster. Francia (hela Västeuropa utom Skandinavien (hedniskt), de brittiska öarna, den iberiska halvön och södra Italien) accepterade den under den sista fjärdedelen av åttonde århundradet. Det sista keltiska klostret som accepterade den, Iona, gjorde det år 716, medan det sista engelska klostret som accepterade den gjorde det år 931. Före dessa datum gav andra metoder påsksöndagen datum som kunde skilja sig med upp till fem veckor.

Detta är tabellen över datum för påskens fullmåne för alla julianska år sedan 931:

Exempel på beräkning med hjälp av denna tabell:

Det gyllene talet för 1573 är 16 (1573 + 1 = 1574; 1574 ÷ 19 = 82 rest 16). Enligt tabellen är påskfullmånen för gyllene talet 16 den 21 mars. Enligt veckotabellen är den 21 mars lördag. Påskdagen är söndagen därpå, den 22 mars.

För ett givet datum för den kyrkliga fullmånen finns det alltså sju möjliga påskdatum. Cykeln med söndagsbokstäver upprepas dock inte på sju år: på grund av skottdagens avbrott vart fjärde år är den fullständiga cykel där veckodagarna återkommer i kalendern på samma sätt, 4 × 7 = 28 år, den så kallade solcykeln. Påskdagarna upprepas alltså i samma ordning efter 4 × 7 × 19 = 532 år. Denna påskcykel kallas också den viktorianska cykeln, efter Victorius av Akvitanien, som införde den i Rom 457. Den är först känd för att ha använts av Annianus av Alexandria i början av 500-talet. Den har också ibland felaktigt kallats den dionysiska cykeln, efter Dionysius Exiguus, som utarbetade påsktabeller som började år 532. Han insåg tydligen inte att den alexandrinska computus som han beskrev hade en 532-årig cykel, även om han insåg att hans 95-åriga tabell inte var en riktig cykel. Den vördnadsvärde Bede (700-talet) tycks ha varit den förste som identifierade solcykeln och förklarade påskcykeln utifrån den metoniska cykeln och solcykeln.

I det medeltida Västeuropa kunde man memorera de datum för påskens fullmåne (14 Nisan) som anges ovan med hjälp av en 19-linjers alliterativ dikt på latin:

Nonae Aprilis	norunt quinos	V
octonae kalendae	assim depromunt.	I
Idus Aprilis	etiam sexis,	VI
nonae quaternae	namque dipondio.	II
Item undene	ambiunt quinos,	V
quatuor idus	capiunt ternos.	III
Ternas kalendas	titulant seni,	VI
quatuor dene	cubant in quadris.	IIIIII
Septenas idus	septem eligunt,	VII
senae kalendae	sortiunt ternos,	III
denis septenis	donant assim.	I
Pridie nonas	porro quaternis,	IIII
nonae kalendae	notantur septenis.	VII
Pridie idus	panditur quinis,	V
kalendas Aprilis	exprimunt unus.	I
Duodene namque	docte quaternis,	IIII
speciem quintam	speramus duobus.	II
Quaternae kalendae	quinque coniciunt,	V
quindene constant	tribus adeptis.	III

Den första halvraden i varje rad anger datumet för påskfullmånen från tabellen ovan för varje år i den 19-åriga cykeln. Den andra halvraden anger ferial regular, eller veckodagsförskjutning, för dagen för det årets påskfullmåne från den samtidiga, eller veckodagen den 24 mars. xlvii Ferial regular upprepas med romerska siffror i den tredje kolumnen.

”Paradoxala” påskdatumRedigera

På grund av diskrepanserna mellan approximationerna i de beräkningstekniska beräkningarna av tiden för den genomsnittliga vårdagjämningen och månfaserna, och de verkliga värdena beräknade enligt astronomiska principer, uppstår ibland skillnader mellan påskdatumet enligt den beräkningstekniska beräkningen och det hypotetiska påskdatumet som beräknats med astronomiska metoder med hjälp av de principer som tillskrivs kyrkofäderna. Dessa skillnader kallas ”paradoxala” påskdatum. I sitt Kalendarium från 1474 beräknade Regiomontanus den exakta tidpunkten för alla sol- och månkonjunktioner för Nürnbergs longitud i enlighet med de alfonsinska tabellerna för perioden 1475 till 1531. I sitt arbete tabellerade han 30 fall där påsken i den julianska computus inte stämde överens med påsken beräknad med hjälp av astronomisk nymåne. I arton fall skiljde sig datumet med en vecka, i sju fall med 35 dagar och i fem fall med 28 dagar.

Ludwig Lange undersökte och klassificerade olika typer av paradoxala påskdatum med hjälp av den gregorianska computus. I de fall där den första vårliga fullmånen enligt astronomisk beräkning inträffar på en söndag och computus anger samma söndag som påsk, inträffar den firade påsken en vecka tidigare jämfört med den hypotetiskt ”astronomiskt” korrekta påsken. Lange kallade detta fall för en negativ veckoparaodox (hebdomadal) paraodox (H-paradox). Om den astronomiska beräkningen ger en lördag för den första vårliga fullmånen och påsken inte firas den direkt följande söndagen utan en vecka senare, firas påsken enligt computus en vecka för sent i jämförelse med det astronomiska resultatet. Han klassificerade sådana fall som en positiv veckoparadox (hebdomadalparadox) (H+-paradox). Diskrepanserna är ännu större om det finns en skillnad enligt vårdagjämningen med avseende på den astronomiska teorin och approximationen av computus. Om den astronomiska ekvinoctiala fullmånen infaller före den computistiska ekvinoctiala fullmånen firas påsken fyra eller till och med fem veckor för sent. Sådana fall kallas enligt Lange för en positiv ekvinoktial paradox (A+ paradox). I det omvända fallet när den beräkningsmässiga ekvinoktiala fullmånen faller en månad före den astronomiska ekvinoktiala fullmånen firas påsken fyra eller fem veckor för tidigt. Sådana fall kallas en negativ ekvinoktial paradox (A- paradox). Ekvinoctialparadoxer gäller alltid globalt för hela jorden, eftersom sekvensen för ekvinox och fullmåne inte är beroende av den geografiska längden. Däremot är veckoparadoxer i de flesta fall lokala och gäller endast för en del av jorden, eftersom bytet av dag mellan lördag och söndag är beroende av den geografiska längden. De beräkningar som görs bygger på astronomiska tabeller som gäller för Venedigs longitud, som Lange kallade den gregorianska längden.

Under 2000- och 2000-talet inträffar negativa veckoparadoxala påskdagar 2049, 2076, 2106, 2119 (globalt), 2133, 2147, 2150, 2170 och 2174; positiva veckoparadoxala datum inträffar 2045, 2069, 2089 och 2096; positiva ekvinoktialparadoxala datum 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 och 2190. År 2076 och 2133 förekommer ”dubbla paradoxer (positiv ekvinoktial och negativ veckodag). Negativa ekvinoktialparadoxer är extremt sällsynta; de förekommer endast två gånger fram till år 4000, år 2353, då påsken infaller fem veckor för tidigt, och år 2372, då påsken infaller fyra veckor för tidigt.