Om A och B är två konstanta uttryck skriver vi A = B om de är lika, och A ≠ B om de inte är lika. För varje tal eller uttryck N gäller till exempel N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². Å andra sidan är 1 ≠ 2,5. Man kan inte göra fel med uttryck som N = N eftersom de inte säger så mycket. Likhetstecknet ”=” som uttalas ”lika med” har andra, mer fruktbara användningsområden.
”=” används för att göra ett uttalande
Likhetstecknet ”=” används för att göra ett uttalande om att två uttryck som ser olika ut faktiskt är lika. Till exempel ser 1 + 1 inte ut som 2, men definitionerna av symbolerna 1, 2, + och aritmetikens regler säger oss att 1 + 1 = 2. Att vara lika betyder alltså inte nödvändigtvis att vara lika.
Det kan också vara så att påståendet som innefattar symbolen ”=” kan vara korrekt eller inte. Medan 1 + 1 = 2 är ett korrekt påstående är 1 + 2 = 4 det inte. Samma sak gäller för symbolen ”≠”, inte lika. Men betydelsen är precis den motsatta jämfört med ”=”. Medan 1 + 2 ≠ 4 är ett korrekt påstående är 1 + 1 ≠ 2 inte det.
”=” används för att ställa ett problem
Om uttrycken A och B inte är konstanta, dvs. om de innehåller variabler, innebär oftast A = B en begäran om att hitta de värden på variablerna för vilka A blir lika med B. Exempelvis kan x + 1 = 4, beroende på vad x kan stå för, vara korrekt eller inte. Begäran om att lösa x + 1 = 4 innebär att hitta det värde (eller de värden) för x, som x + 1 är lika med 4. I detta särskilda fall finns det bara ett värde för x som gör jobbet, nämligen x = 3.
Terminologin varierar. Jag fick lära mig att påståendet A = B där A och B är konstanta, fasta uttryck, kallas för en likhet eller identitet. Om de innehåller variabler kallas A = B för en ekvation. Numera använder man termen ”ekvation” i båda fallen, det förstnämnda sägs vara en konstant ekvation.
Skälet till den senare användningen tror jag är att i algebra kan ett konstant uttryck innehålla variabelliknande symboler för att beteckna generiska tal. Till exempel är (x + y)² = x² + 2xy + y² ett påstående som inte är tänkt att lösas. Det säger helt enkelt att de två uttrycken, (x + y)² till vänster och x² + 2xy + y² till höger, är lika oavsett specifika värden på x och y. Denna användning liknar uttalandet av fysiska lagar. I Einsteins lag, E = mc², är till exempel E och m variabler, medan c är konstant.
”=” används för att definiera eller namnge ett objekt
I algebra kan man definiera en funktion f(x) = x² + 2x³. Detta är varken ett påstående eller en begäran om att lösa en ekvation. Det är en bekvämlighetsdefinition. När den är given kan man tala om funktionens potenser f, dess derivata f’ eller dess iterater f(f(x)), f(f(f(f(x)))), …
I geometri, som ett annat exempel, kan man presentera en punkt A = (2, 3) och en annan punkt B = (-2, 5). Mittpunkten M = (A + B) /2 = (0, 4) ligger på y-axeln.
Symboler ”<” och ”>” för jämförelse
Vissa matematiska objekt kan jämföras, t.ex. av två olika heltal är det ena större, det andra mindre. Andra matematiska objekt, t.ex. komplexa tal, kan inte jämföras om jämförelsen förväntas ha vissa egenskaper.
Symbolen ”>” betyder ”större än”; symbolen ”<” betyder ”mindre än”. Exempel: 2 < 5, 5 > 2. För att komma ihåg vilken som är vilken, observera att båda symbolerna har en spetsig sida där det bara finns en ände, och en delad sida med två ändar. Att 1 är mindre än 2 uttrycks som 1 < 2, vilket är detsamma som 2 > 1, dvs. att 2 är större än 1. Den spetsiga änden med en enda ändpunkt pekar på det mindre av de två uttrycken.
Likt likhetssymbolen för jämlikhet kan symbolerna för jämförelse användas för att göra ett påstående eller för att ställa ett problem. 2 < 5 är ett korrekt påstående. 5 < 2 är ett felaktigt påstående. x + 2 < 5 kan vara korrekt eller inte, beroende på värdet på x. Du kan bli ombedd att hitta de värden på x för vilka x + 2 < 5. I så fall får vi genom att addera -2 till båda sidorna av ojämlikheten x < 3 som är lösningen till x + 2 < 5.
I algebra kan ett påstående inkludera generiska variabler, som t.ex. ojämlikheten AM-GM: (I algebra kan man till exempel använda ett generiskt uttalande som t.ex. (x + y) / 2 ≥ √xy, blir jämlikhet för x = y. Till exempel, om x = y = 2, så blir (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2.
Även √xy = √2-2 = 2. Om x ≠ y, blir ojämlikheten ”strikt”: (x + y) / 2 > √xy.
Ojämlikheten -x² > x² har inga lösningar bland heltal. Ojämlikheten -x² ≥ x² har en lösning: x = 0.
Relaterat materialLäs mer…
|Kontakt||Framsidan|Innehåll|Aritmetik|