Se A e B são duas expressões constantes, escrevemos A = B, se forem iguais, e A ≠ B, se não forem. Por exemplo, para qualquer número ou expressão N, N = N. 1 = 1, 2,5 = 2,5, x + y² = x + y². Por outro lado, 1 ≠ 2.5. Não se pode errar com expressões como N = N, porque elas não dizem muito. O sinal “=” de igualdade que é pronunciado “igual a” tem outros usos mais frutíferos.
“=” é usado para fazer uma afirmação
O símbolo de igualdade “=” é usado para fazer uma afirmação de que duas expressões de aparência diferente são de fato iguais. Por exemplo, 1 + 1 não parece 2 mas as definições dos símbolos 1, 2, +, e as regras da aritmética dizem-nos que 1 + 1 = 2. Portanto, ser igual, não significa necessariamente ser o mesmo.
Também, a afirmação que envolve o símbolo “=” pode ou não estar correcta. Enquanto 1 + 1 = 2 é uma expressão correta, 1 + 2 = 4 não é. O mesmo vale para o símbolo “≠”, não é igual. Mas o significado é exatamente o oposto de “=”. Enquanto 1 + 2 ≠ 4 é uma afirmação correta, 1 + 1 ≠ 2 não é.
“=” é usado para colocar um problema
Se as expressões A e B não são constantes, ou seja, se elas contêm variáveis, então na maioria das vezes A = B significa uma solicitação para encontrar os valores das variáveis, para as quais A torna-se igual a B. Por exemplo, x + 1 = 4, dependendo do que x pode significar, pode ou não ser correto. A solicitação para resolver x + 1 = 4 significa encontrar o valor (ou valores) de x, que x + 1 é igual a 4. Neste caso particular, há apenas um valor de x que faz o trabalho, a saber x = 3,
A terminologia varia. Foi-me ensinado que a afirmação A = B, na qual A e B são expressões constantes, fixas, é chamada de igualdade ou identidade. Se elas incluem variáveis, A = B é chamada de uma equação. Hoje em dia, eles usam o termo “equação” em ambos os casos, diz-se que a primeira é uma equação constante.
A razão para o uso posterior eu acho que em álgebra uma expressão constante pode conter símbolos semelhantes a variáveis para denotar números genéricos. Por exemplo, (x + y)² = x² + 2xy + y² é uma expressão que não é suposto ser resolvida. Ela simplesmente diz que as duas expressões, (x + y)² à esquerda, e x² + 2xy + y² à direita são iguais independentemente dos valores específicos de x e y. Este uso é similar à declaração das leis físicas. Por exemplo, na lei de Einstein, E = mc², E e m são variáveis, enquanto c é constante.
“=” é usado para definir ou nomear um objeto
Em álgebra, pode-se definir uma função f(x) = x² + 2x³. Isto não é nem uma declaração, nem uma solicitação para resolver uma equação. Esta é uma definição de conveniência. Depois de dada, podemos falar dos poderes da função f, sua derivada f’, ou de suas iteradas f(f(x)), f(f(f(x))), …
Em geometria, como outro exemplo, pode-se introduzir o ponto A = (2, 3) e outro ponto B = (-2, 5). O ponto médio M = (A + B) /2 = (0, 4) encontra-se no eixo y.
Symbols “<” e “>” de comparação
alguns objectos matemáticos podem ser comparados, por exemplo, de dois inteiros diferentes um é maior, o outro menor. Outros objectos matemáticos, números complexos para um, não podem ser comparados se a operação de comparação possuir determinadas propriedades.
Símbolo “>” significa “maior que”; símbolo “<” significa “menos que”. Por exemplo, 2 < 5, 5 > 2. Para lembrar qual é qual, observe que ambos os símbolos têm um lado pontiagudo onde há apenas uma extremidade, e um lado dividido com 2 extremidades. O facto de 1 ser inferior a 2 é expresso como 1 < 2, que é o mesmo que 2 > 1, ou seja, que 2 é maior que 1. O extremo pontiagudo com um único extremo aponta para o menor das duas expressões.
Tal como o símbolo de igualdade, os símbolos de comparação, podem ser usados para fazer uma afirmação ou para colocar um problema. 2 < 5 é uma afirmação correta. 5 < 2 é uma afirmação incorreta. x + 2 < 5 pode estar correto ou não, dependendo do valor de x. Você pode ser solicitado a encontrar os valores de x para os quais x + 2 < 5. Neste caso, adicionando -2 aos dois lados da desigualdade obtemos x < 3 que é a solução para x + 2 < 5,
Em álgebra, uma afirmação pode incluir variáveis genéricas, como a desigualdade AM-GM: (x + y) / 2 ≥ √xy, que é verdade para todos os positivos x e y.
Por sinal, o símbolo “≤” significa “menor ou igual a”. O (x + y) / 2 ≥ √xy, torna-se igualdade para x = y. Por exemplo, se x = y = 2, então (x + y) /2 = (2 + 2) /2 = 2,
Também, √xy = √2-2 = 2. Se x ≠ y, a desigualdade torna-se “rigorosa”: (x + y) / 2 > √xy.
A desigualdade -x² > x² não tem solução entre os números inteiros. A desigualdade -x² ≥ x² tem uma solução: x = 0,
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