Introdução
Esta página apresenta as chamadas definições de tensão infinitesimal.html, na verdade é a rotação que precisa ser pequena, não as cepas em si, a fim de usar com precisão as pequenas equações de deformação.
Estirpes normais
Normal em deformação normal não significa deformação comum, ou normal. Significa uma estiramento (ou compressão) com mudança direta de comprimento de um objeto que resulta de uma tensão normal. É comumente definido como
onde as quantidades são definidas no esboço. Isto também é conhecido como Tensão de Engenharia. Note que quando o Delta L é pequeno, então o L_o estará tão próximo do L_f que a especificação de qualquer um dos dois nodenominador do Delta L / L é desnecessária, de fato. Este será o caso ao longo desta página.
A definição surge do facto de que se uma corda de 1 m de comprimento é puxada e falha depois de esticar 0,015 m, então esperaríamos que uma corda de 10 m esticasse 0,15 m antes de falhar. Em cada caso, a tensão é de 0,015, ou 1,5%, e é um valor constante independente do comprimento da corda, mesmo que os L’s do delta sejam valores diferentes nos dois casos. Da mesma forma, a força necessária para esticar uma corda numa determinada quantidade dependeria apenas da tensão na corda. É este conceito fundacional de tensão que faz desta definição uma escolha útil.
Estirpes de cisalhamento puro
Então uma definição melhor, mas ligeiramente mais complexa de deformação de cisalhamento, é
onde se assume que o ponto de partida é também um quadrado. Deve-se notar que as duas definições levam aos mesmos resultados quando os deslocamentos e deformações são pequenos. Em outras palavras
Esta permite pensar em termos da primeira definição enquanto usando a segunda.
Definições Gerais
As definições acima são boas na medida em que funcionam para casos simples em que toda a estirpe é uma ou outra (normal ou de cisalhamento). Mas assim que os componentes da estirpe estiverem simultaneamente presentes para \\i1}(epsilon_x, \i_y, \i_z, \i_z, \i_gamma_{xy}), etc., as coisas podem tornar-se incontroláveis. Portanto, é necessário um método mais geral de cálculo.
A resposta a este dilema é… cálculo. A abordagem é definir os vários termos de deformação das derivadas parciais do campo de deslocamento, \bf u(bf u(bf X)), de tal forma que as definições acima são preservadas para os casos simples.
Estirpes normais
As cepas normais são definidas como
O caso simples de estiramento uniaxial pode ser descrito como
> e desde {\bf u} = {\bf x} – {\bf X}), um pouco de álgebra pode ser aplicado para dar
que reproduz a definição de “delta L sobre L” como desejado.
>
Shear Strains
A equação para a tensão de cisalhamento é
>
A equação de mapeamento de coordenadas para o exemplo de cisalhamento é
E o campo de deslocamento é
A tensão de cisalhamento é
>Esta reproduz o resultado desejado para este caso simples: \8177>A simetria da equação também assegura que o valor de cisalhamento computado também satisfaz o critério de não-rotação da rede. As sequências de coordenadas para este exemplo são
e levam a
que novamente produz o resultado desejado.
2-D Notação
Tensão, como a tensão, é um tensor. E como a tensão, a deformação é um tensor simplesmente porque obedece aos princípios de transformação de coordenadas padrão dos tensores, podendo ser escrita de várias formas diferentes como se segue. Todas elas são idênticas.
{\i1}esquerda=esquerda]
Mas desde {\i1}gamma_{\i} = {\i1}gamma_{\i}), todos os tensores também podem ser escritos como
==esquerda==esquerda]
Configurar {gamma_{xy} = \gamma_{yx}} tem o efeito de fazer (requerendo de fato) os tensores de tensão simétricos.
Tensor Shear Terms
MUITO IMPORTANTE: Os termos de cisalhamento aqui possuem uma propriedade que é comum em todas as definições de deformação e é uma fonte infinita de confusão e erros. Os termos de cisalhamento no straintensor são metade dos valores de tensão de cisalhamento de engenharia definidos anteriormente como\(\gamma_{xy} = D / T\). Isto é aceitável e até mesmo necessário para que as transformações de coordenadas nos tensores de deformação tenham um desempenho correto. No entanto, os termos de cisalhamento tensorial são escritos como {\\i1}({\i}}epsilon_{\i}) e são metade de {\i1}gamma_{\i}, de tal forma que
É sempre, sempre, sempre o caso que se {\i}({\i}gamma_{\i} = D / T = 0.10\), então o tensor de tensão conterá
\]
Alternativamente, se o tensor de tensão for
\]
então \(\gamma_{xy} = D / T = 0.04\).
3-D Notação
Todas as convenções acima em 2-D também se aplicam ao caso 3-D. A notação para o caso 3-D é a seguinte.
A exclusão de rotações rígidas do corpo do tensor de deformação leva a\(\gamma_{xy} = \gamma_{yx}),\gamma_{xz} = \gamma_{zx}), e\(\gamma_{yz} = \gamma_{zy}).Isto também produz tensores simétricos.
==esquerda==esquerda]